SATERIALE RAFFAELA MARIA SATERIALE E LA GEOMETRIA

1-     LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE FRA CULTURA,STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA

Dario Palladino(Università di Genova)

Prima parte

La geometria di Euclide e la questione delle rette parallele Premessa La scoperta e la diffusione delle geometrie non euclidee sono senza dubbio da annoverare fra gli eventi che hanno maggiormente influenzato lo sviluppo della matematica nel diciannovesimo secolo. Entrare nel merito dei loro contenuti appare opportuno non solo dal punto di vista strettamente matematico, ma anche per le ripercussioni che hanno avuto sia sulla concezione delle teorie fisiche, sia sulla riflessione filosofica e scientifica in generale. Si può tranquillamente affermare che ogni persona colta dovrebbe sapere, almeno a grandi linee, che cosa sono e quali influenze hanno avuto nello sviluppo della matematica e del pensiero scientifico. Tale conoscenza non richiede particolari approfondimenti matematici e può essere raggiunta con strumenti tecnici alla portata degli studenti liceali. Nostro costante punto di riferimento sarà il volume E. Agazzi, D.Palladino, Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria dal punto di vista elementare (La Scuola, Brescia, 1998). In questo primo intervento ci occuperemo dell’assiomatica classica, degli Elementi di Euclide e delle peculiarità del V postulato euclideo.L’assiomatica classica Ricordiamo in primo luogo che una teoria matematica modernamente intesa è un sistema ipotetico-deduttivo che si basa su un insieme di concettinon definiti, detti concetti primitivi, e un insieme di proposizioni primitive,dette assiomi, accettate senza che ne venga data una dimostrazione. Tutte gli altri concetti della teoria devono essere introdotti mediante definizioni etutte le altre proposizioni della teoria, dette teoremi, devono essere ottenute mediante dimostrazioni nelle quali si assumono come ipotesi solo assiomi o proposizioni già precedentemente dimostrate.La necessità di assumere concetti primitivi e assiomi deriva dal fatto chesia le definizioni sia le dimostrazioni hanno un carattere “relazionale”: in una definizione un concetto nuovo viene definito a partire da altri il cui significato è assunto come già noto e una dimostrazione mostra come una conclusione deriva logicamente da altre proposizioni assunte come ipotesi.Se si vogliono evitare circolarità o regressi all’infinito, occorre stabilire ipunti di partenza, ossia i concetti primitivi e gli assiomi, da cui iniziare i processi definitorio e dimostrativo. A proposito degli assiomi, si era soliti suddividere le proposizioni primitive in due gruppi: i postulati e le nozioni comuni (o anche semplicemente assiomi); i postulati enunciavano le proprietà evidenti degli oggetti della teoria (e oggi sono detti assiomi specifici); le nozioni comuni stabilivano proprietà di carattere generale, vere per qualsiasi ambito oggettuale e non solo per quello specifico della teoria (e corrispondono,almeno approssimativamente, a quelli oggi detti assiomi logici).Quanto sinora esposto del metodo assiomatico è comune sia alla concezione classica, sia a quella moderna. Ciò che caratterizza ulteriormente la prima è che in essa il procedimento dimostrativo è inteso come metodo per mostrare la verità delle proposizioni. I filosofi greci avevano distinto l’opinione che, basandosi sull’evidenza dei sensi, può essere fallace e la verità basata sul ragionamento intellettuale; avevano cercato quindi i criteri per stabilire la demarcazione tra l’opinione (dóxa),la cui verità è contingente e instabile, e l’autentico sapere (epistéme), la cu iverità, necessaria e indubitabile, è garantita da processi razionalmente fondati. Questa impostazione ha due importanti conseguenze nell’organizzazione classica del sapere scientifico: (1) per essere veritativo il discorso scientifico deve possedere un preciso contenuto oggettuale (solo a proposito di determinati oggetti si può dire che una proposizione è vera);(2) gli assiomi, assunti senza dimostrazione, essendo i “garanti” della verità delle proposizioni dell’intera teoria, devono essere “veri di per sé”: la loro verità deve essere intellettualmente garantita al di là di ogni ragionevole dubbio.Non entriamo in ulteriori dettagli di questa caratterizzazione della concezione classica dell’assiomatica, alla quale si fa spesso riferimento come alla concezione aristotelica, dato che quanto esposto è sufficiente per introdurci all’esame della sistemazione euclidea della geometria. Gli Elementi di Euclide Come è noto, gli Elementi di Euclide (scritti probabilmente intorno al300 a.C.) costituiscono il primo vero proprio trattato di matematica che cisia pervenuto: esso compendia e organizza assiomaticamente i risultati matematici (geometrici, aritmetici e algebrici) dei tre secoli precedenti. Qui siamo interessati al primo dei tredici libri in cui l’opera è suddivisa: esso si conclude con la dimostrazione del teorema di Pitagora (Proposizione 47:«Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto»1)e del suo inverso (Proposizione 48: «Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l’angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto»). All’inizio del primo libro dell’opera sono enunciate le proposizioniprimitive, divise in tre gruppi: termini, postulati e nozioni comuni.Il primo gruppo (termini), contiene le definizioni dei concetti geometrici.Esse possono essere distinte in due tipi. Nelle definizioni nominali un concetto nuovo viene definito in funzione di concetti già definiti; ad esempio:1Per gli enunciati delle proposizioni euclidee si veda Euclide, Elementi, trad. e commento a cura di A. Frajese e L. Maccioni, UTET, Torino, 1970.