SATERIALE RAFFAELA MARIA SATERIALE E LA GEOMETRIA

Gli Elementi

Gli Elementi (300a.C.); (13 libri) costituiscono una sistemazione critica e la sintesi organica di tutta la geometria organizzata secondo il metodo assiomatico (ipotetico-deduttivo) proprio del pensiero greco. In questa geometria astratta è necessario:

 precisare con le definizioni quali sono gli oggetti che si studiano, gli enti primitivi;

individuare mediante i postulati un sistema di proprietà primitive e operazioni possibili, in un sistema compatibile (non contraddittorio);

dedurre dai postulati le diverse proposizioni che saranno i TEOREMI di questa geometria.

La geometria assume eleganza e concatenazione logica. Gli Elementi di Euclide sono stati spesso considerati "Summa delle conoscenze matematiche del mondo greco", ma tale definizione rischia di essere riduttiva, in quanto nell'opera vi sono anche, il risultato di tutte le indagini filosofiche fino da allora condotte sulle metodologie più opportune per stabilire la conoscenza scientifica. Fu la geniale mente di Euclide ad applicare lo sviluppo del ragionamento come "riduzione all'assurdo", secondo il metodo che aveva preso le mosse con Zenone ed era stato poi elaborato da Platone ed Aristotele; fu lui ad utilizzare l'impianto delle "definizioni", dei "postulati" e degli "assiomi" aristotelici, come anche il "metodo dell'esaustione" per dare ordine e forma a quelle conoscenze matematiche che costituivano un campo affascinante e amato dai greci, ma ancora troppo abbandonato a se stesso.

"I tredici libri" I primi 4 libri trattano le proposizioni fondamentali della geometria piana e precisamente:libro I: teoria dell'uguaglianza e dell'equivalenza libro II: algebra geometrica libro III: proprietà del cerchio libro IV: proprietà dei poligoni regolari libro V: ha carattere più generale e riguarda la teoria delle proporzioni tra grandezze libro VI: applicazione alle figure piane della teoria trattata nel libro V libri VII, VIII e IX: numeri interi e loro proprietà libro X: numeri razionali e in particolare i radicali quadratici libri XI, XII e XIII: geometria solida.

Il LIBRO I degli Elementi è il più poderoso ed in esso si trova praticamente tutta la geometria piana che si studia a scuola. Contiene 23 termini (pseudo-definizioni), 5 postulati e 5 nozioni comuni.

I termini:

I. Punto è ciò che non ha parti.

II. Linea è lunghezza senza larghezza.

III. Estremi di una linea sono punti.

IV. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.

V. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

VI. Estremi di una superficie sono linee.

VII. Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.

VIII. Angolo piano è l'inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non giacciano in linea retta.

IX. Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo si chiama rettilineo.

X. Quando una retta innalzata su una retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

XI. Angolo ottuso è quello maggiore di un retto.

XII. Angolo acuto è quello minore di un retto.

XIII. Termine è ciò che è estremo di qualche cosa.

XIV. Figura è ciò che è compreso da uno o più termini.

XV. Cerchio è una figura piana compresa da un'unica linea [che si chiama circonferenza] tale che tutte le rette, le quali cadano sulla linea, a partire da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali fra loro.

XVI. Quel punto si chiama centro del cerchio.

XVII. Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.

XVIII. Semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.

XIX. Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

XX. Delle figure trilatere è triangolo equilatero quello che ha i tre lati uguali, isoscele quello che ha soltando due lati uguali e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.

XXI. Infine, delle figure trilatere è triangolo rettangolo quello che ha un angolo retto, ottusangolo quello che ha un angolo ottuso e acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.

XXII. Delle figure quadrilatere è quadrato quella che è insieme equilatera e ha gli angoli retti, rettangolo quella che ha gli angoli retti ma non è equilatera, rombo quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti, romboide quella ha i

lati e gli angoli opposti uguali fra loro, ma non è equilatera né ha gli angoli retti. E le figure quadrilatere oltre a queste si chiamino trapezi.

XXIII. Parallele sono quelle rette che essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall'una e dall'altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle parti.

Le Nozioni comuni:

I. Cose che sono uguali a una stessa sono uguali anche fra loro.

II. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.

III. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.

IV. E se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le totalità sono disuguali.

V. E doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.

VI. E metà di una stessa cosa sono uguali fra loro.

VII. E cose che coincidono fra loro sono uguali.

VIII. E il tutto è maggiore della parte.

I cinque postulati:

"Si ammette di poter condurre da qualsiasi punto ad ogni altro punto una linea retta ;"

"e che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente per dritto;"

"e che con ogni centro e con ogni distanza si possa descrivere un circolo;"

"e che tutti gli angoli retti siano uguali tra di loro;"

"e che se una retta, incontrandone altri due, forma angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte in cui sono gli angoli minori di due retti".

 http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/euclide.htm

Introduzione alla geometria iperbolica

Uno dei postulati logicamente equivalenti al V è quello di Playfair, quindi una buona negazione del V può essere formulata come la negazione del postulato di Playfair.

Ovvero:

  Esistono almeno un punto P ed una retta AB tali che

i) P non è su AB né sul suo prolungamento

ii) per P passano almeno 2 rette parallele ad AB

Accettiamo la geometria neutrale e sostituiamo il V postulato con questo, saremo allora in una geometria non euclidea: quella iperbolica.

Come è possibile che vi siano due parallele alla stessa retta passanti per lo stesso punto?

Siamo abituati a pensare che, data AB ed il punto P, ci sia solo la retta CD come parallela alla prima.

Ma proviamo a pensare che ne esista una seconda: pensiamo ad una retta passante per P che non coincida con CD.

Diremmo che questa non possa essere parallela ad AB perché convinti che incontri AB in un certo punto prima o poi. Ma proviamo a prescindere dall'apparenza del disegno; possiamo dimostrare che il prolungamento di EF debba per forza incontrare AB?

Teniamo presente che siamo in una geometria neutrale a cui abbiamo aggiunto la negazione del postulato di Playfair, non abbiamo più il teorema 30 di Euclide che ci dice che rette parallele ad una stessa retta sono parallele fra loro, quindi non deve disturbarci il fatto che nel nostro caso EF e CD, entrambe parallele ad AB, si incontrino in P.

E ancora, non abbiamo più il postulato di Euclide che ci porterebbe a dire che, poiché PQB+QPF<180°, le due rette AB e EF si incontrano. 

E potremmo andare avanti ancora, scontrandoci con asserzioni logicamente equivalenti al V postulato, e trovandoci a dover ogni volta ricordare che l'abbiamo negato.

La verità è che nel disegno sembra talmente evidente che EF incontrerà AB che crediamo di poterlo dimostrare, ma significherebbe dimostrare che AB è l'unica parallela, ovvero dimostrare il postulato euclideo, problema che è stato spina nel fianco dei matematici per 2000 anni!

Ai nostri occhi può sembrare che la negazione del postulato di Playfair sia "incompatibile con la natura di una linea retta", per dirla alla Saccheri, ma dobbiamo sforzarci di superare ed ingannare il consueto modo di pensare la geometria e non spaventarci dal fatto che la geometria iperbolica sfugge da ogni tentativo di rappresentazione intuitiva.

Proviamo a passare da un sistema assiomatico materiale, o teoria scientifica, a un sistema assiomatico formale.

E convinciamoci che un sistema matematico (sistema assiomatico formale) è sostanzialmente una pura struttura logica, alla quale si può annettere un significato o meno.

Forse in questo modo la geometria iperbolica ci disarmerà un po' meno.

Proviamo per un attimo a credere che le rette CD e EF siano entrambe parallele ad AB senza pretendere che questo abbia il significato che siamo soliti attribuire alla geometria che descrive il nostro mondo fisico.

 Disegniamo in questo modo le nostre rette: 

Ora forse è più facile credere che EF non necessariamente incontrerà AB.

Del resto possiamo accettare questo disegno poiché la geometria iperbolica è un sistema assiomatico formale e "linea retta" è un termine non definito e non possiamo realmente sapere come si comporti quando la prolunghiamo.

Di EF sappiamo che è parallela ad AB e che non la incontrerà, effettivamente l'ultimo disegno tiene conto di questo e non ci costringe a dubitare.

N.B. Con il disegno di fig.4 non intendo dire che nella geometria iperbolica le linee rette si incurvano.

In realtà non sappiamo ancora come si comportino; "linea retta" è semplicemente un'espressione per indicare uno dei tipi di oggetti di cui la geometria iperbolica si occupa.

E' importante capire che fig.4 offre una rappresentazione non meno valida

 http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/Introduzione%20geom-iperbolica.htm