SATERIALE RAFFAELA MARIA SATERIALE E LA GEOMETRIA

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Geometria ellittica

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Contenuti di base e confronto con la geometria euclidea.

La negazione del V postulato.

 Per comprendere i principi basilari sui quali si fonda la geometria ellittica è necessario considerare i cinque postulati di Euclide e la concezione di quest'ultimo relativa ai punti e alle rette. Per quanto riguarda i cinque postulati, essi sono i seguenti:

   (P1) Da ogni punto ad ogni altro punto è possibile condurre una linea retta;

   (P2) Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea retta;

   (P3) Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza con raggio qualsiasi;

   (P4) Tutti gli angoli retti sono uguali;

   (P5) In un piano, per un punto esterno ad una retta, si può condurre una e una sola parallela alla retta data.

Effettuiamo, in primo luogo, qualche precisazione relativamente ai postulati primo e quarto: il primo, sostanzialmente, significa che per due punti passa un'unica retta; del resto, il secondo presuppone che si tenga presente della definizione di angolo retto secondo Euclide: se una retta r innalzata da un'altra retta s forma con essa angoli adiacenti congruenti fra loro, ciascuno dei due angoli è retto. Alla luce di tale definizione e del quarto postulato, è possibile rilevare la concezione euclidea di un piano uniforme, all'interno del quale la traslazione di un angolo retto lo mantiene tale. In secondo luogo, è indispensabile precisare il fatto che Euclide non abbia mai definito esplicitamente i concetti di punto e retta, associandoli ai punti e alle rette del mondo reale.

Nel XIX secolo, Riemann giunse ad accettare altri significati relativi ai concetti di punto e retta e a negare il quinto postulato, dando vita ad un nuovo modello di geometria, ovvero la geometria ellittica; essa si basa sulla visualizzazione di punti e rette su un piano sferico: un ‘punto’ sarà costituito da due punti diametralmente opposti sulla sfera; una ‘retta’ sarà un cerchio massimo sulla sfera (dunque, una "retta" è una linea finita e chiusa); non esisteranno, di conseguenza, due ‘rette’ parallele.

 Su tale "piano", inoltre, si potranno delineare "triangoli" nei quali la somma degli angoli interni è maggiore di 180°.

 Nell’ambito della geometria ellittica, il quinto postulato di Euclide viene sostituito dal seguente:

 "Due rette hanno sempre un punto in comune"

Inoltre, si precisano i concetti di punto e retta:

punto è una coppia di punti di S (piano sferico) diametralmente opposti;

retta è una circonferenza massima di S.

Infine, deve essere modificato il secondo postulato (P2), da cui Euclide faceva discendere l'infinita lunghezza di una retta: ogni segmento del piano sferico può effettivamente essere prolungato in una retta; le rette, tuttavia, sono linee chiuse, per cui un punto P può muoversi indefinitamente su di esse, ma è destinato a riassumere le stesse posizioni. Le rette euclidee sono infinite mentre quelle ellittiche hanno lunghezza finita.

Del resto, i postulati euclidei restanti vengono mantenuti in comune.

http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_geo%20eli/geo%20eli%203.htm

Geometrie non Euclidee

Intorno al 300 a.C. Euclide scrisse gli Elementi, un libro che sarebbe divenuto uno tra i più celebri mai scritti. Euclide fissò cinque postulati sui quali basò tutti i suoi teoremi:

E' possibile congiungere con una linea retta due punti qualsiasi

E' possibile prolungare ogni segmento in una linea retta

E' possibile tracciare un centro avente centro e raggio arbitrari

Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro

Se una linea retta, incontrando due linee rette, forma angoli interni dalla stesa parte minori di due angoli retti, queste due linee prolungate indefinitamente si incontreranno dalla parte dove formano angoli minori di due retti

E' subito chiaro che il quinto postulato è diverso dagli altri. Non soddisfaceva Euclide, che cercò di evitare di usarlo il più a lungo possibile (infatti le prime 28 proposizioni degli Elementi sono dimostrate senza farne uso). Un altro commento da fare a questo punto è che Euclide, e molti dopo di lui, hanno sempre considerato le linee rette come infinite.

Proclo (410-485) scrisse un commento agli Elementi nel quale riferì di molti tentativi di dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri quattro. In particolare Tolomeo avrebbe prodotto una dimostrazione, poi rivelatasi sbagliata. Proclo stesso ne fornisce una sbagliata. Tuttavia egli dà un postulato equivalente al quinto:

Assegnati una linea retta e un punto fuori di essa, è possibile tracciare solo una retta che passi per quel punto e sia parallela alla retta data.

Sebbene noto dai tempi di Proclo, questo divenne noto come Assioma di Playfair, dal matematico John Playfair; egli scrisse un celebre commento ad Euclide nel 1795 e in esso propose di sostituire il qinto postulato con questo assoma.

Vi furono molti tentativi di dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri quattro, e molti vennero accettati come dimostrazioni per lungo tempo, prima di scoprirne gli errori. Ogni volta, l'errore era dovuto all'assumere come 'ovvia' qualche proprietà in realtà equivalente al postulato stesso. Una di queste prove fu data da Wallis nel 1663: egli pensava di aver dimostrato il postulato, ma in realtà ne provò l'equivalenza alla proposizone:

Per ogni triangolo, ne esiste uno simile di grandezza arbitraria.

Uno di questi tentativi si rivelò più importante degli altri. Fu prodotto nel 1697 da Girolamo Saccheri, il quale provò una dimostrazione "per assurdo": suppose il postulato falso e cercò di arrivare ad una contraddizione.

Ecco un'immagine del quadrilatero di Saccheri: 

In questa figura Saccheri provò che gli angoli in alto, D e C, sono uguali. La prova utilizza proprietà dei triangoli congruenti mostrate da Euclide nelle Proposizioni 4 e 8, che non fanno uso del quinto postulato. A questo punto, Saccheri esamina le tre possibilità:

a) Gli angoli D e C sono maggiori di 90º (ipotesi dell'angolo ottuso)

b) Gli angoli D e C sono minori di 90º (ipotesi dell'angolo acuto)

c) Gli angoli D e C sono uguali a 90º (ipotesi dell'angolo retto)

Il quinto postulato di Euclide è il caso c). Saccheri provò che l'ipotesi dell'angolo ottuso implicava il quinto postulato, ottenendo così una contraddizione. Studiò poi l'ipotesi dell'angolo acuto e ne ricavò molti teoremi (di geometria non-Euclidea) senza rendersi conto realmente di quello che stava facendo.

Comunque, alla fine, 'provò' che anche questa ipotesi portava a una contraddizione.

Nel 1766 Lambert seguì una linea simile a Saccheri, ma non cadde nel suo stesso errore e esplorò l'ipotesi dell'angolo acuto senza giungere a contraddizioni. Lambert ossrvò che, in questa nuova geometria, la somma degli angoli di un triangolo aumentava man mano che l'area del triangolo diminuiva.

Legendre si dedicò per 40 anni allo studio del quinto postulato e i suoi lavori apparvero in appendice a molte edizioni del suo popolarissimo libro Eléments de Géométrie . Legendre provò che il quinto postulato di Euclide è equivalente alla proposizione

La somma degli angoli di un triangolo è pari a due angoli retti.

Legendre dimostrò, come già aveva fatto Saccheri più di 100 anni prima, che la somma degli angoli di un triangolo non può essere maggiore di due angoli retti. Questo, come per Saccheri, dipende dall'ipotesi che le linee rette siano infinite. Tentando di dimostrare che la somma degli angoli non poteva essere minore di 180º, Legendre suppose che per ogni punto all'interno di un angolo è possibile tracciare una linea che incontra i due lati dell'angolo. In realtà anche questa proposizione è equivalente al quinto postulato, anche se Legendre non se ne accorse.

La geometria elementare, da allora, rimase intrappolata nel problema del postulato delle parallele. D'Alembert, nel 1767, lo chiamò lo scandalo della geometria elementare.

La prima persona che realmente comprese il problema delle parallele fu Gauss. Egli cominciò a lavorare sul quinto postulato nel 1792 a soli quindici anni, in principio provando a dimostrarlo dagli altri quattro. Fino al 1813 aveva compiuto pochi progressi e scrisse:

Nella teoria delle parallele non ci siamo spinti finora più avanti di Euclide. Questa è una parte disonorevole della matematica...

Tuttavia nel 1817 Gauss si era convinto che il quinto postulato era indipendente dagli altri quattro. Cominciò a lavorare sulle conseguenze di una geometria in cui per un punto si possa tracciare più di una retta parallela a una retta assegnata.Forse la cosa più sorprendente fu che Gauss non pubblicò mai questo lavoro, ma lo tenne segreto. Questo perché il pensiero scientifico dell'epoca era dominato da Kant che sosteneva che la geometria Euclidea era l'inevitavbile necessità del pensiero e Gauss non amava le polemiche.

Gauss discusse la teoria delle parallele con il suo amico Farkas Bolyai, che produsse molte false prove del postulato delle parallele. Farkas Bolyai insegnò a suo figlio Janos, anch'egli matematico e lo mise in guardia di non sprecare neanche un'ora su questo problema del quinto postulato.

Tuttavia János Bolyai vi lavorò e nel 1823 scrisse a suo padre: Ho scoperto cose tanto meravigliose da esserne stupefatto... dal nulla ho creato uno strano nuovo mondo. Tuttavia a Bolyai furono necessari altri due anni prima di scrivere e pubblicare, in appendice al libro di suo padre, 24 pagine che descrivevano questo strano mondo nuovo.

Gauss, dopo averle lette, così descriveva Janos Bolyai, scrivendo a un amico: Vedo questo giovane geometra Bolyai come un genio di prim'ordine. Comunque, in un certo senso, Bolyai assunse solo che la nuova geometria era possibile. Poi ne seguì le conseguenze, non diversamente da coloro che avevano assunto come falso il quinto postulato e avevano proseguito cercando una contraddizione. Il sostanziale passo avanti fu nel credere che la nuova geometria era possibile. Gauss, seppure così impressionato dal lavoro di Bolyai, lo sconvolse dicendogli di aver già scoperto tutto questo in precedenza, ma di non averlo pubblicato. Pur essendo indubbiamente vero, questo non sminuisce affatto l'incredibile conquista di Bolyai.

E neppure il lavoro di Bolyai fu sminuito dal fatto che Lobacevskij avesse pubblicato un lavoro di geometria non-Euclidea nel 1829. Né Bolyai né Gauss conoscevano il lavoro di Lobacevskij, principalmente poiché venne pubblicato solo in russo nel Bollettino di Kazan, una pubblicazione della locale università. Lobacevskij tentò di raggiungere una platea più ampia, ma il suo lavoro venne rifiutato da Ostrogradski.

In effetti Lobacevskij non riuscì meglio di Bolyai a raggiungere il pubblico riconoscimento del suo lavoro. Pubblicò nel 1840 Investigazioni geometriche sulla teoria delle parallele e la pubblicazione di un estratto in francese nel giornale di Crelle nel 1837 portò il suo lavoro sulla geometria non-Euclidea a un più vasto pubblico, ma la comunità matematica non era ancora pronta ad accogliere idee così rivoluzionarie.

Il libro del 1840 spiega chiaramente come funziona la geometria non-Euclidea. Ecco il diagramma di Lobacevskij:

Tutte le rette uscenti da un punto del piano possono essere divise in due classi rispetto a un'altra retta dello stesso piano: quelle che la incontrano e quelle che non la incontrano. Le linee che separano una classe dall'altra sono chiamate parallele alla linea data.

Quindi Lobacevskij sostituì il quinto postulato di Euclide con:

Il Postulato delle Parallele di Lobacevskij: Esistono due rette parallele a una retta data per un punto non appartenente ad essa.

Lobacevskij sviluppò varie identità trigonometriche valide per i triangoli nella sua teoria, dimostrando che quando un triangolo diventa piccolo le identità tendono alle solite identità trigonometriche.

Riemann, che scrisse la sua tesi di dottorato sotto la supervisione di Gauss, diede una lezione inaugurale il 10 giugno 1854 nella quale riformulò l'intero concetto di geometria, che egli vedeva come uno spazio dotato di una struttura sufficiente a smisurare cose come le lunghezze. La lezione non venne pubblicata fino al 1868, due anni dopo la morte di Riemann, ma ebbe una profonda influenza sullo sviluppo di un'abbondanza di geometrie diverse. Riemann discusse brevemente una geometria 'sferica' nella quale ogni linea per un punto P esterno a una retta AB incontrava la retta. In questa geometria non esistono parallele.

E' importante rendersi conto che né Bolyai né Lobacevskij hanno provato la consistenza della loro geometria. In effetti non c'è questa prova neanche per la geometria Euclidea, sebbene i molti secoli di lavoro con la geometria Euclidea sono stati sufficienti a convincere i matematici che in essa non vi sono contraddizioni.

Il primo a porre la geometria non Euclidea di Bolyai-Lobacevskij sullo stesso piano della geometria Euclidea fu Eugenio Beltrami (1835-1900). Nel 1868 scrisse un lavoro Saggio sulla interpretazione della geometria non-Euclidea che conteneva un modello di geometria non-Euclidea in due dimensioni all'interno dello spazio tridimensionale ordinario della geometria Euclidea. Il modello era ottenuto sulla superficie generata dalla rotazione di una trattrice intorno al suo asintoto. Questo modello è talvolta chiamato pseudosfera.

Puoi vedere qui il grafico di una trattrice.

Ecco invece come appare la metà superiore di una pseudosfera.

In realtà il modello di Beltrami era incompleto, ma di certo portava a una decisione finale sul quinto postulato di Euclide, giacché rappresentava una situazione in cui i primi quattro postulati valevano ed il quinto no. Questo ridusse il problema della consistenza degli assiomi della geometria non-Euclidea a quello della consistenza degli assiomi della geometria Euclidea.

Il lavoro di Beltrami sul modello di geometria non Euclidea venne completato da Klein nel 1871. Klein andò oltre e fornì modelli di altre geometrie non Euclidee, come la geometria sferica di Riemann. Il lavoro di Keine era basato sul concetto di distanza introdotto da Cayley nel 1859, quando propose una definizione generalizzata di distanza.

Klein mostrò che ci sono tre tipi diversi di geometria. In quella di Bolyai-Lobacevskij, le rette hanno due punti infinitamente distanti; e ogni retta ha due parallele passanti per un punto dato). Nella geometria sferica di Riemann, invece, le rette non hanno punti a distanza infinita (o più precisamente ne hanno due immaginari) e non esistono rette parallele. La geometria Euclidea è il caso limite tra le due, dove per ogni linea ci sono due punti infinitamente distanti che coincidono.

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Geometrie finite - Il metodo assiomatico

Le geometrie finite descrivono un sistema di oggetti (che chiamiamo sempre punti o rette) con la caratteristica peculiare di essere finito. La geometria di Euclide non è finita, perché ogni retta, per esempio, contiene infiniti punti. Lo studio delle geometrie finite ha assunto in tempi recenti grande importanza, anche per i suoi legami con l'analisi combinatoria e per numerose altre applicazioni. Uno dei padri di questi studi è Gino Fano, esponente di grande rilievo della scuola italiana di geometria algebrica che tra la fine dell'Ottocento e i primi decenni del Novecento ha dominato il panorama internazionale delle ricerche geometriche.

E' significativo notare come si possa costruire una teoria assiomatica che usi gli stessi concetti della ordinaria geometria, anche in situazioni in cui gli oggetti da trattare sono in numero finito. E' chiaro che l'idea fisica di punto o di retta che ci si fa in geometrie di questo tipo non potrà coincidere con quella che scaturisce dagli assiomi, spesso identici, che si utilizzano per la geometria ordinaria (o anche per le geometrie non euclidee). E' proprio questo uno dei principali motivi che ci hanno spinto ad inserire un breve cenno di questi concetti nel nostro corso: mostrare su esempi concreti (e semplici, in quanto gli insiemi finiti sono più "abbordabili" di quelli infiniti) come nella costruzione della geometria siano fondamentali gli assiomi più che le rappresentazioni visive che noi ci facciamo degli oggetti.

Sia per capire bene l'idea di geometria finita, che per riassumere e sistemare concetti trattati in varie parti di questo corso di geometria, richiamiamo qui, molto schematicamente, le principali caratteristiche dei sistemi di assiomi.

Il metodo assiomatico

Il metodo assiomatico consiste di:

Un insieme di termini tecnici che non vengono definiti e che il lettore interpreta opportunamente: si tratta dei termini non definiti o degli enti primitivi..

Un ulteriore insieme di termini tecnici definiti utilizzando i termini indefiniti: si tratta delle definizioni del sistema.

Un  insieme di affermazioni che riguardano i termini indefiniti e di definizioni che non vengono provate: si tratta degli assiomi del sistema.

Un ulteriore insieme di affermazioni che devono essere logiche conseguenze degli assiomi: si tratta dei teoremi del sistema. Una prova è il risultato di una successione di affermazioni, ciascuna della quali segue logicamente da quelle precedenti e che conduce da una proposizione che si sa essere vera ad un'altra che deve essere provata.

Dando ad ognuno dei termini non definiti un particolare significato, si costruisce una interpretazione del sistema. Se per una data interpretazione e del sistema, tutti gli assiomi sono veri, quella interpretazione si chiama un modello. Esempi di modelli sono quelli di Klein e di Poincaré delle geometrie non euclidee. Ci possono essere sostanzialmente due tipi di modelli:

Modelli concreti: gli enti primitivi sono rappresentati con oggetti del mondo fisico (magari idealizzati).

Modelli astratti: gli enti primitivi sono rappresentati con oggetti presi da altri sistemi assiomatici, come per esempio i numeri reali.

Proprietà dei sistemi assiomatici

 Compatibilità . Un insieme di assiomi è compatibile se è impossibile dedurre da essi un teorema che contraddice gli assiomi o un teorema già provato. Si può anche dire, in maniera equivalente, che un sistema è incompatibile se implica una contraddizione, cioè se esiste una proposizione contemporaneamente vera e falsa.

Un esempio di sistema incompatibile:

A1. Ci sono esattamente due ragazzi.

A2. Ci sono esattamente tre ragazze.

A3. Ogni ragazzo ama esattamente due ragazze.

A4. Nessuna coppia di ragazzi ama la stessa ragazza.

Un modo per provare la compatibilità di un sistema di assiomi è di costruire un modello concreto (in questo caso si parla di compatibilità assoluta) o astratto (in questo caso si parla di compatibilità relativa).

 Indipendenza. Un assioma è indipendente se non è una logica conseguenza degli altri. Un sistema di assiomi è indipendente se ogni assioma è indipendente.

Un modo per provare che un assioma è indipendente è quello di costruire un modello in cui l'assioma è falso mentre gli altri sono veri.

 Completezza. Un sistema di assiomi è completo se è impossibile aggiungere ulteriori assiomi senza introdurre altri termini non definiti.

Le verifiche di compatibilità, indipendenza e completezza sono spesso molto complesse. L'esempio più eclatante è dato dalla geometria di Euclide: la verifica della indipendenza degli assiomi (in particolare dell'assioma delle parallele) ha richiesto molti secoli di discussione.

Le geometrie finite

Affinché una configurazione di punti e linee sia considerata una geometria finita devono essere verificate alcune proprietà generali, che si possono riassumere nel seguente schema.

Il numero di punti è finito.

Il numero di linee è finito.

Ogni linea contiene lo stesso numero di punti (≥2).

Ogni punto appartiene allo stesso numero di linee (≥2).

Ogni coppia di punti distinti sta al più su una linea.

Ogni coppia di linee distinte si interseca su al più un punto.

Non tutti i punti stanno su una stessa linea.

C'è almeno una linea.

Per questioni di semplicità di linguaggio anziché dire "un punto sta su una linea" e "una linea passa per un punto", si usa la stessa locuzione in entrambi i casi: "un punto sta su una linea" e "una linea sta su un punto". Si noti che nella geometria di Euclide valgono le proprietà dalla 3 alla 7, in particolare la 3 (ogni linea contiene infiniti punti) e la 4 (ogni punto appartiene a infinite rette, quelle del fascio proprio da esso individuato).

La geometria dei quattro punti

I termini primitivi sono punto, linea, su.

Gli assiomi sono:

A1. Ci sono esattamente quattro punti.

A2. Due punti distinti hanno esattamente una linea su entrambi.

A3. Ogni linea è esattamente su due punti.

I teoremi chiave in questa geometria sono:

Nella geometria dei quattro punti ci sono esattamente sei linee.

Nella geometria dei quattro punti ogni linea ha esattamente una linea ad essa parallela.

 Un possibile modello è quello rappresentato qui a fianco, dove i punti sono A, B, C, D, e le linee sono AB, CD, BC, AD, BD, AC.

Si tenga presente che le linee devono essere pensate solo come sottoinsiemi dell'insieme dei punti e i segmenti o archi che abbiamo usato servono solo a evidenziare questi sottoinsiemi.

E' chiaro che le coppie di linee AB - CD, AD - BC, AC - BD, sono parallele, in quanto non hanno punti in comune; é altresì immediato verificare che gli assiomi indicati sono verificati.

La scelta di rappresentare la sesta linea come un arco è solo legata al desiderio di non far intersecare nemmeno visivamente AD con BC: in realtà in questa geometria le linee possono essere pensate come "diritte" nel senso ordinario.

Un possibile modello concreto di questa geometria è il seguente: Quattro studenti vogliono giocare al computer uno contro l'altro e vogliono connettere i computer con cavi (non con una connessione di rete mediante server). Nella figura di sopra i punti rappresentano i computer e le linee i cavi. Anche se questa situazione può essere considerata banale, essa fa vedere quale tipo di applicazioni possono essere derivate dai modelli di geometria finita. E' chiaro, in questo modello, che i cavi possono essere tranquillamente pensati "diritti", in accordo con quanto abbiamo detto sopra riguardo al modello astratto.

La geometria di Fano

I termini primitivi sono punto, linea, su.

Gli assiomi sono:

A1. Esiste almeno una linea.

A2. Ci sono esattamente tre punti su ogni linea.

A3. Non tutti i punti stanno su una stessa linea.

A4. C'è esattamente una linea su due punti distinti.

A5. C'è almeno un punto su ogni due linee distinte.

I teoremi chiave in questa geometria sono:

Nella geometria di Fano due linee qualunque hanno esattamente un punto in comune (questo significa che non esistono linee parallele ad una linea data).

Nella geometria di Fano ci sono esattamente sette punti e sette linee.

Un possibile modello astratto di questa geometria è rappresentato qui a lato. Si noti come sei delle sette linee possono essere pensate come "diritte" nel senso ordinario del termine, mentre la settima no. In questa geometria, inoltre, non esistono linee parallele ad una data linea.

Ci sono parecchi modelli concreti di uso comune di questa geometria. Ne proponiamo due.

Primo modello - In un parlamento di sette persone si vogliono costituire sette commissioni di tre persone ciascuna, in modo che ogni persona partecipi a tre commissioni, che due commissioni abbiano almeno un membro in comune e che una determinata coppia di persone partecipi ad una sola commissione. Se identifichiamo i parlamentari con punti e le commissioni con linee, il modello di Fano risolve esattamente questo problema.

Secondo modello - Una rete per comunicazioni mediante switch box. In una rete di questo tipo si vuole che

Due utenti qualunque siano connessi ad uno switch.

Tutti gli switch devono essere utilizzati con lo stesso carico.

Deve essere usato il minor numero possibile di switch (più di uno comunque).

Se chiediamo che ciascuno switch connetta esattamente tre utenti e pensiamo gli utenti come punti, e gli switch come linee, il modello di Fano risolve esattamente questo problema.

I due esempi di reti di comunicazione che abbiamo proposto non sono casuali: in questo campo le applicazioni delle geometrie finite sono all'ordine del giorno (anche se spesso non sono così semplici!).

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