SATERIALE RAFFAELA MARIA SATERIALE E LA GEOMETRIA

1210 LINEE 2007

VIDEO E MUSICA

DI

RAFFAELA MARIA SATERIALE

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Gli Elementi

Gli Elementi (300a.C.); (13 libri) costituiscono una sistemazione critica e la sintesi organica di tutta la geometria organizzata secondo il metodo assiomatico (ipotetico-deduttivo) proprio del pensiero greco. In questa geometria astratta è necessario:

 precisare con le definizioni quali sono gli oggetti che si studiano, gli enti primitivi;

individuare mediante i postulati un sistema di proprietà primitive e operazioni possibili, in un sistema compatibile (non contraddittorio);

dedurre dai postulati le diverse proposizioni che saranno i TEOREMI di questa geometria.

La geometria assume eleganza e concatenazione logica. Gli Elementi di Euclide sono stati spesso considerati "Summa delle conoscenze matematiche del mondo greco", ma tale definizione rischia di essere riduttiva, in quanto nell'opera vi sono anche, il risultato di tutte le indagini filosofiche fino da allora condotte sulle metodologie più opportune per stabilire la conoscenza scientifica. Fu la geniale mente di Euclide ad applicare lo sviluppo del ragionamento come "riduzione all'assurdo", secondo il metodo che aveva preso le mosse con Zenone ed era stato poi elaborato da Platone ed Aristotele; fu lui ad utilizzare l'impianto delle "definizioni", dei "postulati" e degli "assiomi" aristotelici, come anche il "metodo dell'esaustione" per dare ordine e forma a quelle conoscenze matematiche che costituivano un campo affascinante e amato dai greci, ma ancora troppo abbandonato a se stesso.

"I tredici libri" I primi 4 libri trattano le proposizioni fondamentali della geometria piana e precisamente:libro I: teoria dell'uguaglianza e dell'equivalenza libro II: algebra geometrica libro III: proprietà del cerchio libro IV: proprietà dei poligoni regolari libro V: ha carattere più generale e riguarda la teoria delle proporzioni tra grandezze libro VI: applicazione alle figure piane della teoria trattata nel libro V libri VII, VIII e IX: numeri interi e loro proprietà libro X: numeri razionali e in particolare i radicali quadratici libri XI, XII e XIII: geometria solida.

Il LIBRO I degli Elementi è il più poderoso ed in esso si trova praticamente tutta la geometria piana che si studia a scuola. Contiene 23 termini (pseudo-definizioni), 5 postulati e 5 nozioni comuni.

I termini:

I. Punto è ciò che non ha parti.

II. Linea è lunghezza senza larghezza.

III. Estremi di una linea sono punti.

IV. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.

V. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

VI. Estremi di una superficie sono linee.

VII. Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.

VIII. Angolo piano è l'inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non giacciano in linea retta.

IX. Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo si chiama rettilineo.

X. Quando una retta innalzata su una retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

XI. Angolo ottuso è quello maggiore di un retto.

XII. Angolo acuto è quello minore di un retto.

XIII. Termine è ciò che è estremo di qualche cosa.

XIV. Figura è ciò che è compreso da uno o più termini.

XV. Cerchio è una figura piana compresa da un'unica linea [che si chiama circonferenza] tale che tutte le rette, le quali cadano sulla linea, a partire da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali fra loro.

XVI. Quel punto si chiama centro del cerchio.

XVII. Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.

XVIII. Semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.

XIX. Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

XX. Delle figure trilatere è triangolo equilatero quello che ha i tre lati uguali, isoscele quello che ha soltando due lati uguali e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.

XXI. Infine, delle figure trilatere è triangolo rettangolo quello che ha un angolo retto, ottusangolo quello che ha un angolo ottuso e acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.

XXII. Delle figure quadrilatere è quadrato quella che è insieme equilatera e ha gli angoli retti, rettangolo quella che ha gli angoli retti ma non è equilatera, rombo quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti, romboide quella ha i

lati e gli angoli opposti uguali fra loro, ma non è equilatera né ha gli angoli retti. E le figure quadrilatere oltre a queste si chiamino trapezi.

XXIII. Parallele sono quelle rette che essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall'una e dall'altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle parti.

Le Nozioni comuni:

I. Cose che sono uguali a una stessa sono uguali anche fra loro.

II. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.

III. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.

IV. E se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le totalità sono disuguali.

V. E doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.

VI. E metà di una stessa cosa sono uguali fra loro.

VII. E cose che coincidono fra loro sono uguali.

VIII. E il tutto è maggiore della parte.

I cinque postulati:

"Si ammette di poter condurre da qualsiasi punto ad ogni altro punto una linea retta ;"

"e che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente per dritto;"

"e che con ogni centro e con ogni distanza si possa descrivere un circolo;"

"e che tutti gli angoli retti siano uguali tra di loro;"

"e che se una retta, incontrandone altri due, forma angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte in cui sono gli angoli minori di due retti".

 http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/euclide.htm

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Introduzione alla geometria iperbolica

Uno dei postulati logicamente equivalenti al V è quello di Playfair, quindi una buona negazione del V può essere formulata come la negazione del postulato di Playfair.

Ovvero:

  Esistono almeno un punto P ed una retta AB tali che

i) P non è su AB né sul suo prolungamento

ii) per P passano almeno 2 rette parallele ad AB

Accettiamo la geometria neutrale e sostituiamo il V postulato con questo, saremo allora in una geometria non euclidea: quella iperbolica.

Come è possibile che vi siano due parallele alla stessa retta passanti per lo stesso punto?

Siamo abituati a pensare che, data AB ed il punto P, ci sia solo la retta CD come parallela alla prima.

Ma proviamo a pensare che ne esista una seconda: pensiamo ad una retta passante per P che non coincida con CD.

Diremmo che questa non possa essere parallela ad AB perché convinti che incontri AB in un certo punto prima o poi. Ma proviamo a prescindere dall'apparenza del disegno; possiamo dimostrare che il prolungamento di EF debba per forza incontrare AB?

Teniamo presente che siamo in una geometria neutrale a cui abbiamo aggiunto la negazione del postulato di Playfair, non abbiamo più il teorema 30 di Euclide che ci dice che rette parallele ad una stessa retta sono parallele fra loro, quindi non deve disturbarci il fatto che nel nostro caso EF e CD, entrambe parallele ad AB, si incontrino in P.

E ancora, non abbiamo più il postulato di Euclide che ci porterebbe a dire che, poiché PQB+QPF<180°, le due rette AB e EF si incontrano. 

E potremmo andare avanti ancora, scontrandoci con asserzioni logicamente equivalenti al V postulato, e trovandoci a dover ogni volta ricordare che l'abbiamo negato.

La verità è che nel disegno sembra talmente evidente che EF incontrerà AB che crediamo di poterlo dimostrare, ma significherebbe dimostrare che AB è l'unica parallela, ovvero dimostrare il postulato euclideo, problema che è stato spina nel fianco dei matematici per 2000 anni!

Ai nostri occhi può sembrare che la negazione del postulato di Playfair sia "incompatibile con la natura di una linea retta", per dirla alla Saccheri, ma dobbiamo sforzarci di superare ed ingannare il consueto modo di pensare la geometria e non spaventarci dal fatto che la geometria iperbolica sfugge da ogni tentativo di rappresentazione intuitiva.

Proviamo a passare da un sistema assiomatico materiale, o teoria scientifica, a un sistema assiomatico formale.

E convinciamoci che un sistema matematico (sistema assiomatico formale) è sostanzialmente una pura struttura logica, alla quale si può annettere un significato o meno.

Forse in questo modo la geometria iperbolica ci disarmerà un po' meno.

Proviamo per un attimo a credere che le rette CD e EF siano entrambe parallele ad AB senza pretendere che questo abbia il significato che siamo soliti attribuire alla geometria che descrive il nostro mondo fisico.

 Disegniamo in questo modo le nostre rette: 

Ora forse è più facile credere che EF non necessariamente incontrerà AB.

Del resto possiamo accettare questo disegno poiché la geometria iperbolica è un sistema assiomatico formale e "linea retta" è un termine non definito e non possiamo realmente sapere come si comporti quando la prolunghiamo.

Di EF sappiamo che è parallela ad AB e che non la incontrerà, effettivamente l'ultimo disegno tiene conto di questo e non ci costringe a dubitare.

N.B. Con il disegno di fig.4 non intendo dire che nella geometria iperbolica le linee rette si incurvano.

In realtà non sappiamo ancora come si comportino; "linea retta" è semplicemente un'espressione per indicare uno dei tipi di oggetti di cui la geometria iperbolica si occupa.

E' importante capire che fig.4 offre una rappresentazione non meno valida

 http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/Introduzione%20geom-iperbolica.htm

Una retta viene disegnata come un segmento con estremi tratteggiatiLa retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

1 Definizioni

2 Proprietà

3 Retta nel piano cartesiano

4 Retta nello spazio euclideo tridimensionale

5 Retta in uno spazio euclideo n-dimensionale

6 Voci correlate

Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.

Due rette nel piano possono essere:

incidenti se si intersecano in uno e un solo punto;

parallele se non si intersecano in uno e solo punto.

Due rette nello spazio possono essere:

complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti;

sghembe se non sono contenute in un piano comune.

La retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente:

Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette.

Per due punti passa una sola retta.

Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali.

Nello spazio, per una retta passano infiniti piani.

Le prime 3 proprietà sono valide sia nel piano che nello spazio.

 Retta nel piano cartesiano 

 Per approfondire, vedi la voce Retta nel piano cartesiano.

Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare

ax + by + c = 0

dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli.

Se  oppure , è possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:

y = mx + q oppure x = my + q

dove m si chiama coefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta.

 Retta nello spazio euclideo tridimensionale

Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta come luogo di intersezione di due piani non paralleli:

Retta in uno spazio euclideo n-dimensionale  [modifica]

Nello spazio euclideo n-dimensionale , una retta è un insieme dei punti del tipo dove  e  sono due vettori fissati in  con  diverso da zero. Il vettore  descrive la direzione della retta, mentre  è un qualsiasi punto nella retta. Scelte differenti dei vettori  e  possono descrivere la stessa retta.

Questa definizione di retta nello spazio di dimensione n è una estensione della rappresentazione in forma esplicita nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in forma implicita come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie n − 1 equazioni.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La curvatura: dalla Geometria alla Cosmologia

a cura di Paolo Sirtoli

Appunti e (soprattutto) complementi delle lezioni tenute presso il

Liceo Scientifico Statale "L. Mascheroni" di Bergamo

Versione 1.1

ultima revisione: 29 giugno 2005

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1-D: la curvatura di una linea

Se pensiamo ad una generica linea immersa in un piano, la curvatura è intuitivamente la misura di quanto essa devia rispetto alla tangente. Inoltre ci accorgiamo immediatamente che si tratta di una proprietà locale e non globale. In altre parole, ha senso definire la curvatura in un punto, ma non significa nulla parlare di "curvatura di una linea".

La curvatura in un punto P si calcola come

 (1)

E' facile verificare che la retta, in base a questa definizione, ha curvatura nulla. Pensiamo ora alla linea curva più semplice: la circonferenza. La sua curvatura è costante per tutti i punti e vale k=1/R. Come era logico aspettarsi, quanto maggiore è il raggio, tanto minore sarà la curvatura della circonferenza; inoltre se consideriamo la retta come una circonferenza di raggio infinito, ritroviamo consistentemente che la sua curvatura è zero.

Il cerchio osculatore

Per misurare la curvatura k dovremmo procedere con un passaggio al limite, che è un'operazione non sempre immediata da eseguire. Fortunatamente esiste una formula esplicita per determinare la curvatura; a tale scopo consideriamo due punti A e B che individuano un tratto di linea di lunghezza  a cavallo del punto P. Se costruiamo la circonferenza che passa per questi tre punti, essa approssimerà sempre meglio la linea man mano che  tende a zero. Dunque se conosciamo il raggio R di questa circonferenza, possiamo riutilizzare la formula k=1/R che avevamo visto prima!

Trovare quella circonferenza è facile perché non è altro che il cerchio osculatore (nome dovuto a Leibniz, lo definiva circulum osculans, vale a dire la circonferenza che "bacia" la linea in quel punto). La formula per trovare il raggio del cerchio osculatore prevede il calcolo della derivata prima y' e seconda y" nel punto considerato, ed è la seguente:

 (2)

E' vero che il raggio è una grandezza geometrica e dunque positiva, ma se non ci preoccupiamo di questo aspetto, il segno di r indica semplicemente il verso della concavità della curva rispetto al nostro sistema di assi cartesiani.

Ecco alcuni esempi significativi, che lo studente potrà agevolmente verificare con un breve studio di funzione.

A sinistra in blu il grafico dell'equazione y=x², a destra il grafico dell'equazione y=1/x. In rosso sono tracciati i grafici della curvatura. Si noti che il segno della curvatura nel caso dell'iperbole equilatera rispecchia il verso della concavità.

2-D: la curvatura di una superficie

Procediamo ora con lo studio della curvatura di una superficie regolare. La curvatura più utile in relatività e' detta anche gaussiana, in onore del grande matematico Carl Friedrich Gauss, che ne diede la descrizione.

Consideriamo la campana schiacciata disegnata a fianco: per trovare la curvatura di questa superficie nel punto all'apice, dobbiamo individuare la retta normale alla superficie in quel punto. Poi andiamo a considerare tutti i piani incernierati su tale retta: essi sezioneranno la superficie dando luogo a linee diverse, ciascuna caratterizzata da un cerchio osculatore in quel punto, e dunque da una curvatura. Ebbene, un teorema dovuto ad Eulero afferma che i piani che individuano la massima curvatura e quella minima (dette curvature principali) sono perpendicolari e Gauss definì la curvatura (gaussiana) della superficie come il prodotto delle curvature principali. In formula:

(3)

Consideriamo la sfera di raggio R: in tutti i suoi punti i piani che vanno a sezionarla descrivono sempre la stessa circonferenza, per cui la curvatura sarà in tutti i punti 1/R².

Fonte dell'illustrazione: "Le Scienze" n°282 - febbraio 1992

I tre tipi di curvatura

Prestiamo ora attenzione al fatto che la curvatura ha un segno, dunque il prodotto (3) delle due curvature principali potrà essere positivo o negativo a seconda che i due cerchi osculatori giacciano dalla stessa parte rispetto alla superficie, oppure da parti opposte.

Domanda: com'è la curvatura del cilindro? e quella del cono?

Contrariamente all'intuizione, queste superfici non sono affatto curve! Infatti in ogni punto possiamo individuare una sezione di curvatura minima (zero) che corrisponde ad una retta, pertanto la curvatura gaussiana, essendo il prodotto delle curvature principali, sarà nulla.

Gauss scoprì che le uniche superfici dotate di geometria intrinseca, vale a dire che le figure quando si spostano su di esse non subiscono deformazioni, sono soltanto tre: il piano (k=0) la sfera (k=1) e la pseudosfera(1) (k=-1). In pratica gli "abitanti" di queste superfici possono edificare delle geometrie per descrivere il loro mondo. Invece gli abitanti di altri mondi a curvatura non costante vedrebbero effetti stranissimi, che non consentirebbero loro di edificare una geometria: ad esempio le figure, spostate in certe zone, si dilaterebbero, in altre zone si contrarrebbero!

Nel 1854 Riemann ha determinato il tipo di geometria in funzione della curvatura: è euclidea se la curvatura è nulla, sferica se la curvatura è positiva, iperbolica se la curvatura è negativa.

Domanda: le superfici con curvatura ±2 o ±3, a differenza di quelle con curvatura ±1, non sono dotate di geometria intrinseca?

Si lo sono, la vera distinzione non sta nel valore assoluto della curvatura, ma nel segno. L'importante è che la curvatura sia la stessa in ogni punto.

Domanda: il fatto di avere curvatura costante c'entra qualcosa con l'omogeneità dello spazio? e con l'isotropia?

Si. Come già detto, se la curvatura non fosse uguale per tutti i punti, le figure geometriche subirebbero deformazioni in seguito a semplici traslazioni, e dunque i punti dello spazio non sarebbero equivalenti tra loro, cioè lo spazio non sarebbe omogeneo. L'isotropia invece discende dal fatto che le curvature principali sono uguali in valore assoluto. Dunque la condizione di curvatura costante non implica affatto l'isotropia: la porzione di pseudosfera visibile a lato ha in ogni punto curvatura costante e pari a -1, ma le curvature principali variano, mantenendo costante il loro prodotto. Questa pseudosfera è un esempio di spazio omogeneo ma non isotropo.

Dal punto di vista fisico, in astronomia il principio cosmologico ha come felice conseguenza il fatto che lo spazio sia omogeneo ed isotropo. Infatti ciò conduce, tra le innumerevoli possibilità, a considerare solo tre geometrie globali dell'Universo: quella piatta, quella sferica e quella iperbolica, naturalmente tutte e tre a curvatura costante.

Fonte della prima illustrazione: "Gravità e Spazio-tempo" di J. Wheeler, Zanichelli

Fonte della seconda illustrazione: "La matematica del Novecento" di P. Odifreddi, Einaudi

La geometria sferica

Sulle superfici con curvatura positiva e costante viene definita una geometria sferica. Ecco le principali proprietà:

- per un punto esterno ad una retta data non passa alcuna retta parallela ad essa

- la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di p radianti

- il rapporto tra circonferenza e raggio è minore di 2p

- l'estensione della superficie è finita

Domanda: la Terra ha curvatura positiva, dunque sulla sua superficie è definita una geometria sferica. Dato che i paralleli della superficie terrestre non si incontrano mai, non c'è contraddizione con una delle proprietà enunciate prima?

No perché i paralleli non sono rette! Le rette sono definite nelle varietà riemanniane come le linee che rendono minima la distanza tra due punti. Nella geometria sferica le rette sono archi di cerchio massimo, vale a dire archi del cerchio che passa per i due punti considerati, e il cui centro coincide con il centro della sfera.

http://www.vialattea.net/curvatura/

La geometria diventa sistema   

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Le testimonianze sullo stato della geometria lungo le rive del Nilo si riducono al brano di Erodoto riportato all'inizio, oltre a una tradizione costante che vuole che la geometria greca abbia le sue origini in Egitto. Se questa tradizione contiene una parte di verità, e non si vede per quale motivo essa debba essere considerata in toto una leggenda, allora sarà lecito attendersi che tracce dell'attività dei geometri egizi si ritrovino nella matematica greca, e in particolare degli Elementi di Euclide.

 Segni labili, perché gli Elementi sono un'opera matura, nella quale confluiscono elaborazioni precedenti oggi perdute, e che è organizzata secondo il procedere assiomatico-deduttivo proprio del pensiero greco e di lì di tutta la matematica occidentale. Essi non si potranno rintracciare pertanto nell'architettura complessiva dell'opera, né tanto meno nelle dimostrazioni dei teoremi, ma semmai nei principi, nelle definizioni e nei postulati, che notoriamente hanno la funzione di tradurre in simboli e forme geometriche gli oggetti e i procedimenti del mondo reale. Perché la geometria astratta della classicità greca possa descrivere le proprietà più profonde e portare alla luce le relazioni più nascoste tra gli oggetti del mondo esterno, occorre da una parte precisare con le definizioni quali sono gli oggetti in questione, in modo che non possa esservi alcun dubbio su ciò che si entra e ciò che è escluso dal dominio della geometria, e dall'altra individuare mediante i postulati un sistema di proprietà primitive e di operazioni possibili, a partire dalle quali il geometra, col solo ausilio del suo pensiero logico, possa disvelare il reticolo di congruenze e di interrelazioni che soggiace, inaccessibile sovente all'indagine materiale, ai concetti astratti della geometria e di rimando agli oggetti concreti del mondo.

Se le definizioni e i postulati svolgono quest'opera di traduzione tra gli oggetti materiali della natura e i procedimenti empirici della prassi da un lato, e le figure e le operazioni astratte della geometria dall'altro, è in essi che si potranno trovare e si dovranno cercare le tracce di una tradizione perduta. Tracce concettuali, dato che i concetti principali riecheggeranno procedimenti e operazioni non formalizzati; tracce linguistiche, poiché la scelta dei termini non potrà non essere influenzata dalle operazioni sulle cose che da essi sono denotate.

Riguardati sotto questo aspetto, gli Elementi di Euclide mostrano in filigrana una corrispondenza non totale, certo, ma sorprendentemente evidente, con le operazioni degli arpedonapti.

Dell'angolo retto si è già detto; ma prima ancora di questo, è la stessa definizione di linea retta - una linea sempre finita, un segmento - che rimanda direttamente all'operazione di "tendere" una corda tra due "punti" (la parola greca corrispondente significa letteralmente "segni"), che ne costituiscono i "confini". Il suo essere retta non dipende dal fatto che essa realizza la distanza minima tra due punti, ma ancora una volta rinvia all'uniformità della tensione, per cui essa "giace uniformemente rispetto ai suoi segni", proprietà che diventa ancor più suggestiva se letta insieme alla definizione che la precede: "I segni sono i confini della linea".

Dei postulati poi, i primi tre riproducono esattamente le operazioni dell'agrimensore:

tirare una retta tra due punti:

Si chiede di tirare una linea retta da un qualsiasi segno a un qualsiasi altro segno.

prolungare una retta data:

E di produrre subito dopo per diritto una linea retta finita.

descrivere una circonferenza:

E con qualsiasi centro e intervallo descrivere un cerchio.

mentre gli altri due testimoniano per così dire delle impossibilità di dimostrazione. Di essi il quarto dice che

Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro. e l'ultimo è il famoso "postulato delle parallele":

Se una retta, cadendo sopra altre due rette, fa angoli interni dalla stessa parte minori di due retti, quelle due rette, prolungate, si incontreranno dalla parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

La differenza tra questi due postulati e i primi tre è evidente. I primi non fanno altro che porre in termini geometrici delle operazioni pratiche usuali; quello che essi domandano non è altro che la traduzione in forma astratta della prassi concreta dell'agrimensore. Gli ultimi due sono invece della natura dei teoremi: essi esprimono non delle possibilità concesse al geometra, ma delle proprietà degli oggetti matematici già introdotti in precedenza; proprietà essenziali nella dimostrazione dei teoremi che seguono e che, in mancanza di meglio, vengono assunte a priori.

E in effetti a più riprese questi postulati vengono trattati come teoremi, e ne viene tentata una dimostrazione. Già Proclo, nel suo commento al primo libro degli Elementi, si sforza di provare il quarto postulato; il quinto poi sarà oggetto di innumerevoli tentativi di dimostrazione, che condurranno agli inizi dell'ottocento, alla scoperta delle geometrie non euclidee.

http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/curve_giusti/prima.php?id=2

Geometria ellittica

(Ritorna a “La geometria elittica”)

Contenuti di base e confronto con la geometria euclidea.

La negazione del V postulato.

 Per comprendere i principi basilari sui quali si fonda la geometria ellittica è necessario considerare i cinque postulati di Euclide e la concezione di quest'ultimo relativa ai punti e alle rette. Per quanto riguarda i cinque postulati, essi sono i seguenti:

   (P1) Da ogni punto ad ogni altro punto è possibile condurre una linea retta;

   (P2) Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea retta;

   (P3) Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza con raggio qualsiasi;

   (P4) Tutti gli angoli retti sono uguali;

   (P5) In un piano, per un punto esterno ad una retta, si può condurre una e una sola parallela alla retta data.

Effettuiamo, in primo luogo, qualche precisazione relativamente ai postulati primo e quarto: il primo, sostanzialmente, significa che per due punti passa un'unica retta; del resto, il secondo presuppone che si tenga presente della definizione di angolo retto secondo Euclide: se una retta r innalzata da un'altra retta s forma con essa angoli adiacenti congruenti fra loro, ciascuno dei due angoli è retto. Alla luce di tale definizione e del quarto postulato, è possibile rilevare la concezione euclidea di un piano uniforme, all'interno del quale la traslazione di un angolo retto lo mantiene tale. In secondo luogo, è indispensabile precisare il fatto che Euclide non abbia mai definito esplicitamente i concetti di punto e retta, associandoli ai punti e alle rette del mondo reale.

Nel XIX secolo, Riemann giunse ad accettare altri significati relativi ai concetti di punto e retta e a negare il quinto postulato, dando vita ad un nuovo modello di geometria, ovvero la geometria ellittica; essa si basa sulla visualizzazione di punti e rette su un piano sferico: un ‘punto’ sarà costituito da due punti diametralmente opposti sulla sfera; una ‘retta’ sarà un cerchio massimo sulla sfera (dunque, una "retta" è una linea finita e chiusa); non esisteranno, di conseguenza, due ‘rette’ parallele.

 Su tale "piano", inoltre, si potranno delineare "triangoli" nei quali la somma degli angoli interni è maggiore di 180°.

 Nell’ambito della geometria ellittica, il quinto postulato di Euclide viene sostituito dal seguente:

 "Due rette hanno sempre un punto in comune"

Inoltre, si precisano i concetti di punto e retta:

punto è una coppia di punti di S (piano sferico) diametralmente opposti;

retta è una circonferenza massima di S.

Infine, deve essere modificato il secondo postulato (P2), da cui Euclide faceva discendere l'infinita lunghezza di una retta: ogni segmento del piano sferico può effettivamente essere prolungato in una retta; le rette, tuttavia, sono linee chiuse, per cui un punto P può muoversi indefinitamente su di esse, ma è destinato a riassumere le stesse posizioni. Le rette euclidee sono infinite mentre quelle ellittiche hanno lunghezza finita.

Del resto, i postulati euclidei restanti vengono mantenuti in comune.

http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_geo%20eli/geo%20eli%203.htm

Geometrie non Euclidee

Intorno al 300 a.C. Euclide scrisse gli Elementi, un libro che sarebbe divenuto uno tra i più celebri mai scritti. Euclide fissò cinque postulati sui quali basò tutti i suoi teoremi:

E' possibile congiungere con una linea retta due punti qualsiasi

E' possibile prolungare ogni segmento in una linea retta

E' possibile tracciare un centro avente centro e raggio arbitrari

Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro

Se una linea retta, incontrando due linee rette, forma angoli interni dalla stesa parte minori di due angoli retti, queste due linee prolungate indefinitamente si incontreranno dalla parte dove formano angoli minori di due retti

E' subito chiaro che il quinto postulato è diverso dagli altri. Non soddisfaceva Euclide, che cercò di evitare di usarlo il più a lungo possibile (infatti le prime 28 proposizioni degli Elementi sono dimostrate senza farne uso). Un altro commento da fare a questo punto è che Euclide, e molti dopo di lui, hanno sempre considerato le linee rette come infinite.

Proclo (410-485) scrisse un commento agli Elementi nel quale riferì di molti tentativi di dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri quattro. In particolare Tolomeo avrebbe prodotto una dimostrazione, poi rivelatasi sbagliata. Proclo stesso ne fornisce una sbagliata. Tuttavia egli dà un postulato equivalente al quinto:

Assegnati una linea retta e un punto fuori di essa, è possibile tracciare solo una retta che passi per quel punto e sia parallela alla retta data.

Sebbene noto dai tempi di Proclo, questo divenne noto come Assioma di Playfair, dal matematico John Playfair; egli scrisse un celebre commento ad Euclide nel 1795 e in esso propose di sostituire il qinto postulato con questo assoma.

Vi furono molti tentativi di dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri quattro, e molti vennero accettati come dimostrazioni per lungo tempo, prima di scoprirne gli errori. Ogni volta, l'errore era dovuto all'assumere come 'ovvia' qualche proprietà in realtà equivalente al postulato stesso. Una di queste prove fu data da Wallis nel 1663: egli pensava di aver dimostrato il postulato, ma in realtà ne provò l'equivalenza alla proposizone:

Per ogni triangolo, ne esiste uno simile di grandezza arbitraria.

Uno di questi tentativi si rivelò più importante degli altri. Fu prodotto nel 1697 da Girolamo Saccheri, il quale provò una dimostrazione "per assurdo": suppose il postulato falso e cercò di arrivare ad una contraddizione.

Ecco un'immagine del quadrilatero di Saccheri: 

In questa figura Saccheri provò che gli angoli in alto, D e C, sono uguali. La prova utilizza proprietà dei triangoli congruenti mostrate da Euclide nelle Proposizioni 4 e 8, che non fanno uso del quinto postulato. A questo punto, Saccheri esamina le tre possibilità:

a) Gli angoli D e C sono maggiori di 90º (ipotesi dell'angolo ottuso)

b) Gli angoli D e C sono minori di 90º (ipotesi dell'angolo acuto)

c) Gli angoli D e C sono uguali a 90º (ipotesi dell'angolo retto)

Il quinto postulato di Euclide è il caso c). Saccheri provò che l'ipotesi dell'angolo ottuso implicava il quinto postulato, ottenendo così una contraddizione. Studiò poi l'ipotesi dell'angolo acuto e ne ricavò molti teoremi (di geometria non-Euclidea) senza rendersi conto realmente di quello che stava facendo.

Comunque, alla fine, 'provò' che anche questa ipotesi portava a una contraddizione.

Nel 1766 Lambert seguì una linea simile a Saccheri, ma non cadde nel suo stesso errore e esplorò l'ipotesi dell'angolo acuto senza giungere a contraddizioni. Lambert ossrvò che, in questa nuova geometria, la somma degli angoli di un triangolo aumentava man mano che l'area del triangolo diminuiva.

Legendre si dedicò per 40 anni allo studio del quinto postulato e i suoi lavori apparvero in appendice a molte edizioni del suo popolarissimo libro Eléments de Géométrie . Legendre provò che il quinto postulato di Euclide è equivalente alla proposizione

La somma degli angoli di un triangolo è pari a due angoli retti.

Legendre dimostrò, come già aveva fatto Saccheri più di 100 anni prima, che la somma degli angoli di un triangolo non può essere maggiore di due angoli retti. Questo, come per Saccheri, dipende dall'ipotesi che le linee rette siano infinite. Tentando di dimostrare che la somma degli angoli non poteva essere minore di 180º, Legendre suppose che per ogni punto all'interno di un angolo è possibile tracciare una linea che incontra i due lati dell'angolo. In realtà anche questa proposizione è equivalente al quinto postulato, anche se Legendre non se ne accorse.

La geometria elementare, da allora, rimase intrappolata nel problema del postulato delle parallele. D'Alembert, nel 1767, lo chiamò lo scandalo della geometria elementare.

La prima persona che realmente comprese il problema delle parallele fu Gauss. Egli cominciò a lavorare sul quinto postulato nel 1792 a soli quindici anni, in principio provando a dimostrarlo dagli altri quattro. Fino al 1813 aveva compiuto pochi progressi e scrisse:

Nella teoria delle parallele non ci siamo spinti finora più avanti di Euclide. Questa è una parte disonorevole della matematica...

Tuttavia nel 1817 Gauss si era convinto che il quinto postulato era indipendente dagli altri quattro. Cominciò a lavorare sulle conseguenze di una geometria in cui per un punto si possa tracciare più di una retta parallela a una retta assegnata.Forse la cosa più sorprendente fu che Gauss non pubblicò mai questo lavoro, ma lo tenne segreto. Questo perché il pensiero scientifico dell'epoca era dominato da Kant che sosteneva che la geometria Euclidea era l'inevitavbile necessità del pensiero e Gauss non amava le polemiche.

Gauss discusse la teoria delle parallele con il suo amico Farkas Bolyai, che produsse molte false prove del postulato delle parallele. Farkas Bolyai insegnò a suo figlio Janos, anch'egli matematico e lo mise in guardia di non sprecare neanche un'ora su questo problema del quinto postulato.

Tuttavia János Bolyai vi lavorò e nel 1823 scrisse a suo padre: Ho scoperto cose tanto meravigliose da esserne stupefatto... dal nulla ho creato uno strano nuovo mondo. Tuttavia a Bolyai furono necessari altri due anni prima di scrivere e pubblicare, in appendice al libro di suo padre, 24 pagine che descrivevano questo strano mondo nuovo.

Gauss, dopo averle lette, così descriveva Janos Bolyai, scrivendo a un amico: Vedo questo giovane geometra Bolyai come un genio di prim'ordine. Comunque, in un certo senso, Bolyai assunse solo che la nuova geometria era possibile. Poi ne seguì le conseguenze, non diversamente da coloro che avevano assunto come falso il quinto postulato e avevano proseguito cercando una contraddizione. Il sostanziale passo avanti fu nel credere che la nuova geometria era possibile. Gauss, seppure così impressionato dal lavoro di Bolyai, lo sconvolse dicendogli di aver già scoperto tutto questo in precedenza, ma di non averlo pubblicato. Pur essendo indubbiamente vero, questo non sminuisce affatto l'incredibile conquista di Bolyai.

E neppure il lavoro di Bolyai fu sminuito dal fatto che Lobacevskij avesse pubblicato un lavoro di geometria non-Euclidea nel 1829. Né Bolyai né Gauss conoscevano il lavoro di Lobacevskij, principalmente poiché venne pubblicato solo in russo nel Bollettino di Kazan, una pubblicazione della locale università. Lobacevskij tentò di raggiungere una platea più ampia, ma il suo lavoro venne rifiutato da Ostrogradski.

In effetti Lobacevskij non riuscì meglio di Bolyai a raggiungere il pubblico riconoscimento del suo lavoro. Pubblicò nel 1840 Investigazioni geometriche sulla teoria delle parallele e la pubblicazione di un estratto in francese nel giornale di Crelle nel 1837 portò il suo lavoro sulla geometria non-Euclidea a un più vasto pubblico, ma la comunità matematica non era ancora pronta ad accogliere idee così rivoluzionarie.

Il libro del 1840 spiega chiaramente come funziona la geometria non-Euclidea. Ecco il diagramma di Lobacevskij:

Tutte le rette uscenti da un punto del piano possono essere divise in due classi rispetto a un'altra retta dello stesso piano: quelle che la incontrano e quelle che non la incontrano. Le linee che separano una classe dall'altra sono chiamate parallele alla linea data.

Quindi Lobacevskij sostituì il quinto postulato di Euclide con:

Il Postulato delle Parallele di Lobacevskij: Esistono due rette parallele a una retta data per un punto non appartenente ad essa.

Lobacevskij sviluppò varie identità trigonometriche valide per i triangoli nella sua teoria, dimostrando che quando un triangolo diventa piccolo le identità tendono alle solite identità trigonometriche.

Riemann, che scrisse la sua tesi di dottorato sotto la supervisione di Gauss, diede una lezione inaugurale il 10 giugno 1854 nella quale riformulò l'intero concetto di geometria, che egli vedeva come uno spazio dotato di una struttura sufficiente a smisurare cose come le lunghezze. La lezione non venne pubblicata fino al 1868, due anni dopo la morte di Riemann, ma ebbe una profonda influenza sullo sviluppo di un'abbondanza di geometrie diverse. Riemann discusse brevemente una geometria 'sferica' nella quale ogni linea per un punto P esterno a una retta AB incontrava la retta. In questa geometria non esistono parallele.

E' importante rendersi conto che né Bolyai né Lobacevskij hanno provato la consistenza della loro geometria. In effetti non c'è questa prova neanche per la geometria Euclidea, sebbene i molti secoli di lavoro con la geometria Euclidea sono stati sufficienti a convincere i matematici che in essa non vi sono contraddizioni.

Il primo a porre la geometria non Euclidea di Bolyai-Lobacevskij sullo stesso piano della geometria Euclidea fu Eugenio Beltrami (1835-1900). Nel 1868 scrisse un lavoro Saggio sulla interpretazione della geometria non-Euclidea che conteneva un modello di geometria non-Euclidea in due dimensioni all'interno dello spazio tridimensionale ordinario della geometria Euclidea. Il modello era ottenuto sulla superficie generata dalla rotazione di una trattrice intorno al suo asintoto. Questo modello è talvolta chiamato pseudosfera.

Puoi vedere qui il grafico di una trattrice.

Ecco invece come appare la metà superiore di una pseudosfera.

In realtà il modello di Beltrami era incompleto, ma di certo portava a una decisione finale sul quinto postulato di Euclide, giacché rappresentava una situazione in cui i primi quattro postulati valevano ed il quinto no. Questo ridusse il problema della consistenza degli assiomi della geometria non-Euclidea a quello della consistenza degli assiomi della geometria Euclidea.

Il lavoro di Beltrami sul modello di geometria non Euclidea venne completato da Klein nel 1871. Klein andò oltre e fornì modelli di altre geometrie non Euclidee, come la geometria sferica di Riemann. Il lavoro di Keine era basato sul concetto di distanza introdotto da Cayley nel 1859, quando propose una definizione generalizzata di distanza.

Klein mostrò che ci sono tre tipi diversi di geometria. In quella di Bolyai-Lobacevskij, le rette hanno due punti infinitamente distanti; e ogni retta ha due parallele passanti per un punto dato). Nella geometria sferica di Riemann, invece, le rette non hanno punti a distanza infinita (o più precisamente ne hanno due immaginari) e non esistono rette parallele. La geometria Euclidea è il caso limite tra le due, dove per ogni linea ci sono due punti infinitamente distanti che coincidono.

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Geometrie finite - Il metodo assiomatico

Le geometrie finite descrivono un sistema di oggetti (che chiamiamo sempre punti o rette) con la caratteristica peculiare di essere finito. La geometria di Euclide non è finita, perché ogni retta, per esempio, contiene infiniti punti. Lo studio delle geometrie finite ha assunto in tempi recenti grande importanza, anche per i suoi legami con l'analisi combinatoria e per numerose altre applicazioni. Uno dei padri di questi studi è Gino Fano, esponente di grande rilievo della scuola italiana di geometria algebrica che tra la fine dell'Ottocento e i primi decenni del Novecento ha dominato il panorama internazionale delle ricerche geometriche.

E' significativo notare come si possa costruire una teoria assiomatica che usi gli stessi concetti della ordinaria geometria, anche in situazioni in cui gli oggetti da trattare sono in numero finito. E' chiaro che l'idea fisica di punto o di retta che ci si fa in geometrie di questo tipo non potrà coincidere con quella che scaturisce dagli assiomi, spesso identici, che si utilizzano per la geometria ordinaria (o anche per le geometrie non euclidee). E' proprio questo uno dei principali motivi che ci hanno spinto ad inserire un breve cenno di questi concetti nel nostro corso: mostrare su esempi concreti (e semplici, in quanto gli insiemi finiti sono più "abbordabili" di quelli infiniti) come nella costruzione della geometria siano fondamentali gli assiomi più che le rappresentazioni visive che noi ci facciamo degli oggetti.

Sia per capire bene l'idea di geometria finita, che per riassumere e sistemare concetti trattati in varie parti di questo corso di geometria, richiamiamo qui, molto schematicamente, le principali caratteristiche dei sistemi di assiomi.

Il metodo assiomatico

Il metodo assiomatico consiste di:

Un insieme di termini tecnici che non vengono definiti e che il lettore interpreta opportunamente: si tratta dei termini non definiti o degli enti primitivi..

Un ulteriore insieme di termini tecnici definiti utilizzando i termini indefiniti: si tratta delle definizioni del sistema.

Un  insieme di affermazioni che riguardano i termini indefiniti e di definizioni che non vengono provate: si tratta degli assiomi del sistema.

Un ulteriore insieme di affermazioni che devono essere logiche conseguenze degli assiomi: si tratta dei teoremi del sistema. Una prova è il risultato di una successione di affermazioni, ciascuna della quali segue logicamente da quelle precedenti e che conduce da una proposizione che si sa essere vera ad un'altra che deve essere provata.

Dando ad ognuno dei termini non definiti un particolare significato, si costruisce una interpretazione del sistema. Se per una data interpretazione e del sistema, tutti gli assiomi sono veri, quella interpretazione si chiama un modello. Esempi di modelli sono quelli di Klein e di Poincaré delle geometrie non euclidee. Ci possono essere sostanzialmente due tipi di modelli:

Modelli concreti: gli enti primitivi sono rappresentati con oggetti del mondo fisico (magari idealizzati).

Modelli astratti: gli enti primitivi sono rappresentati con oggetti presi da altri sistemi assiomatici, come per esempio i numeri reali.

Proprietà dei sistemi assiomatici

 Compatibilità . Un insieme di assiomi è compatibile se è impossibile dedurre da essi un teorema che contraddice gli assiomi o un teorema già provato. Si può anche dire, in maniera equivalente, che un sistema è incompatibile se implica una contraddizione, cioè se esiste una proposizione contemporaneamente vera e falsa.

Un esempio di sistema incompatibile:

A1. Ci sono esattamente due ragazzi.

A2. Ci sono esattamente tre ragazze.

A3. Ogni ragazzo ama esattamente due ragazze.

A4. Nessuna coppia di ragazzi ama la stessa ragazza.

Un modo per provare la compatibilità di un sistema di assiomi è di costruire un modello concreto (in questo caso si parla di compatibilità assoluta) o astratto (in questo caso si parla di compatibilità relativa).

 Indipendenza. Un assioma è indipendente se non è una logica conseguenza degli altri. Un sistema di assiomi è indipendente se ogni assioma è indipendente.

Un modo per provare che un assioma è indipendente è quello di costruire un modello in cui l'assioma è falso mentre gli altri sono veri.

 Completezza. Un sistema di assiomi è completo se è impossibile aggiungere ulteriori assiomi senza introdurre altri termini non definiti.

Le verifiche di compatibilità, indipendenza e completezza sono spesso molto complesse. L'esempio più eclatante è dato dalla geometria di Euclide: la verifica della indipendenza degli assiomi (in particolare dell'assioma delle parallele) ha richiesto molti secoli di discussione.

Le geometrie finite

Affinché una configurazione di punti e linee sia considerata una geometria finita devono essere verificate alcune proprietà generali, che si possono riassumere nel seguente schema.

Il numero di punti è finito.

Il numero di linee è finito.

Ogni linea contiene lo stesso numero di punti (≥2).

Ogni punto appartiene allo stesso numero di linee (≥2).

Ogni coppia di punti distinti sta al più su una linea.

Ogni coppia di linee distinte si interseca su al più un punto.

Non tutti i punti stanno su una stessa linea.

C'è almeno una linea.

Per questioni di semplicità di linguaggio anziché dire "un punto sta su una linea" e "una linea passa per un punto", si usa la stessa locuzione in entrambi i casi: "un punto sta su una linea" e "una linea sta su un punto". Si noti che nella geometria di Euclide valgono le proprietà dalla 3 alla 7, in particolare la 3 (ogni linea contiene infiniti punti) e la 4 (ogni punto appartiene a infinite rette, quelle del fascio proprio da esso individuato).

La geometria dei quattro punti

I termini primitivi sono punto, linea, su.

Gli assiomi sono:

A1. Ci sono esattamente quattro punti.

A2. Due punti distinti hanno esattamente una linea su entrambi.

A3. Ogni linea è esattamente su due punti.

I teoremi chiave in questa geometria sono:

Nella geometria dei quattro punti ci sono esattamente sei linee.

Nella geometria dei quattro punti ogni linea ha esattamente una linea ad essa parallela.

 Un possibile modello è quello rappresentato qui a fianco, dove i punti sono A, B, C, D, e le linee sono AB, CD, BC, AD, BD, AC.

Si tenga presente che le linee devono essere pensate solo come sottoinsiemi dell'insieme dei punti e i segmenti o archi che abbiamo usato servono solo a evidenziare questi sottoinsiemi.

E' chiaro che le coppie di linee AB - CD, AD - BC, AC - BD, sono parallele, in quanto non hanno punti in comune; é altresì immediato verificare che gli assiomi indicati sono verificati.

La scelta di rappresentare la sesta linea come un arco è solo legata al desiderio di non far intersecare nemmeno visivamente AD con BC: in realtà in questa geometria le linee possono essere pensate come "diritte" nel senso ordinario.

Un possibile modello concreto di questa geometria è il seguente: Quattro studenti vogliono giocare al computer uno contro l'altro e vogliono connettere i computer con cavi (non con una connessione di rete mediante server). Nella figura di sopra i punti rappresentano i computer e le linee i cavi. Anche se questa situazione può essere considerata banale, essa fa vedere quale tipo di applicazioni possono essere derivate dai modelli di geometria finita. E' chiaro, in questo modello, che i cavi possono essere tranquillamente pensati "diritti", in accordo con quanto abbiamo detto sopra riguardo al modello astratto.

La geometria di Fano

I termini primitivi sono punto, linea, su.

Gli assiomi sono:

A1. Esiste almeno una linea.

A2. Ci sono esattamente tre punti su ogni linea.

A3. Non tutti i punti stanno su una stessa linea.

A4. C'è esattamente una linea su due punti distinti.

A5. C'è almeno un punto su ogni due linee distinte.

I teoremi chiave in questa geometria sono:

Nella geometria di Fano due linee qualunque hanno esattamente un punto in comune (questo significa che non esistono linee parallele ad una linea data).

Nella geometria di Fano ci sono esattamente sette punti e sette linee.

Un possibile modello astratto di questa geometria è rappresentato qui a lato. Si noti come sei delle sette linee possono essere pensate come "diritte" nel senso ordinario del termine, mentre la settima no. In questa geometria, inoltre, non esistono linee parallele ad una data linea.

Ci sono parecchi modelli concreti di uso comune di questa geometria. Ne proponiamo due.

Primo modello - In un parlamento di sette persone si vogliono costituire sette commissioni di tre persone ciascuna, in modo che ogni persona partecipi a tre commissioni, che due commissioni abbiano almeno un membro in comune e che una determinata coppia di persone partecipi ad una sola commissione. Se identifichiamo i parlamentari con punti e le commissioni con linee, il modello di Fano risolve esattamente questo problema.

Secondo modello - Una rete per comunicazioni mediante switch box. In una rete di questo tipo si vuole che

Due utenti qualunque siano connessi ad uno switch.

Tutti gli switch devono essere utilizzati con lo stesso carico.

Deve essere usato il minor numero possibile di switch (più di uno comunque).

Se chiediamo che ciascuno switch connetta esattamente tre utenti e pensiamo gli utenti come punti, e gli switch come linee, il modello di Fano risolve esattamente questo problema.

I due esempi di reti di comunicazione che abbiamo proposto non sono casuali: in questo campo le applicazioni delle geometrie finite sono all'ordine del giorno (anche se spesso non sono così semplici!).

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In campo geometrico, la linea è una serie di punti adimensionali ravvicinati; essa possiede dunque una sola dimensione, la lunghezza, e manca di larghezza e di profondità. Le qualità che una linea può possedere sono diverse e numerose: principalmente, essa può essere dritta, spezzata o curva. Una linea si dice dritta quando i punti che la compongono si susseguono uno dietro l'altro in una fila lineare; questo tipo di figura viene chiamata retta se non ha inizio né fine, semiretta se ha inizio o fine e segmento se ha inizio e fine. Una linea si dice invece spezzata quando, periodicamente, si riscontrano notevoli cambiamenti d'angolazione e spigolature; infine, essa è chiamata curva quando la si può dire generata da un unico punto che si muove casualmente sul piano o nello spazio. Le linee appartenenti agli ultimi due gruppi detti, inoltre, possono essere chiuse o aperte, a seconda che i loro estremi coincidano o no: alle linee spezzate chiuse appartengono tutti i poligoni, mentre a quelle curve chiuse figure come il cerchio e l'ellisse; similmente, alle linee curve aperte appartengono sinusoidi, parabole, iperboli e tantissime altre figure. Elemento fondamentale affinché si possa formare una figura geometrica è che la linea non sia intrecciata: essa può infatti, nelle sue curvature, formare degli istmi, ovvero delle zone in cui due punti si trovano sovrapposti racchiudendo due o più aree differenti.

Naturalmente esistono anche linee aventi più di una delle qualità sopra citate (retta o curva, chiusa o aperta, intrecciata o semplice): un evidente esempio è la forma ad otto, che è insieme curva, chiusa e intrecciata.