SATERIALE RAFFAELA MARIA SATERIALE E LA GEOMETRIA

Nella geometria piana, il cerchio è quella porzione di piano delimitata da una circonferenza, ovvero l'insieme dei punti che distano dal centro C della stessa non più del raggio r; per cui in sistema di assi cartesiani un generico cerchio, di centro e raggio R è rappresentato dall'insieme di punti che soddisfano la seguente condizione:

Il cerchio può essere considerato un poligono con un numero di lati infinito, o meglio come il limite di una successione di poligono regolare per N che tende ad infinito

Data una corda sulla circonferenza, ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione è il diametro, i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi.

Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

L'intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso (visivamente, un "spicchio" di cerchio) si chiama settore circolare. Se l'angolo al centro è retto, il settore circolare che individua si chiama quadrante; se è piatto, è il semicerchio.

Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L'area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare.

La formula dell'area del cerchio può essere ottenuta a partire da quelle della lunghezza della circonferenza e dell'area del triangolo.

Si immagini un esagono regolare (figura geometrica con sei lati) diviso in triangoli uguali, aventi i vertici nel centro dell'esagono. L'area dell'esagono può essere calcolata moltiplicando la somma delle basi dei triangoli (cioè il perimetro dell'esagono) per la loro altezza e dividendo per due. Questa è un'approssimazione dell'area del cerchio.

Si immagini adesso lo stesso con un ottagono (figura geometria con otto lati): l'approssimazione sarà migliore. All'aumentare del numero dei lati del poligono, l'area sarà sempre più vicina a quella del cerchio. Al tendere dei lati all'infinito, la figura tende ad essere un cerchio, con un perimetro di 2πr ed un'altezza dei triangoli di r: l'area è quindi πr2.

La quadratura del cerchio si riferisce all'impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato della stessa area.

Alcuni solidi tridimensionali che possono avere, se tagliati da un piano, sezioni circolari sono la sfera, il cilindro ed il cono.

Il cerchio viene detto inscritto se viene costruito all'interno di una figura piana, e circoscritto se la racchiude.

TRATTO DA   http://it.wikipedia.org/wiki/Cerchio

478 CERCHI

VIDEO DI RAFFAELA MARIA SATERIALE

continua su http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/NonEucl-1.pdf

Le LINEE DI TRASMISSIONE vengono impiegate per trasferire energia elettrica, o informazioni, da un generatore a un carico.

Un esempio di linea elettrica in corrente continua è indicato nell'animazione seguente, dove la  forza elettromotrice E di una pila, separa le cariche elettriche positive + da quelle negative - e, per mezzo di un tasto T, le immette  nei conduttori della linea.

TRATTO DA http://www.geocities.com/Athens/Olympus/3272/racc.html

Il concetto di infinito

Massimo Mugnai

3° PARTE

I rappresentanti principali sono Nicolò Da Cusa e Giordano Bruno.

Il primo scrive “siccome qualsiasi parte dell’infinito è infinita, implica contraddizione

trovare un punto in cui si arriverebbe all’infinito (...) Nel numero infinito il 2 non sarebbe minore del 100 se si potesse arrivare all’infinito in atto nel processo ascensionale (come la linea infinita). Solo il massimo assoluto è infinito in senso negativo”.

Giordano Bruno realizza un recupero interessante dell’infinito, che viene a far

parte dell’esistente contro la prospettiva antica del mondo finito. “Io dico l’universo tutto infinito perché non ha margine, termine, né superficie. Ma ciascuna parte di esso è finita”.

Qui c’è la comparazione di Dio all’infinito. C’è l’ingresso dell’infinito a livello

naturale. Galileo elabora un paradosso interessante: dato l’insieme dei numeri naturali,

possono essere messi ciascuno in corrispondenza del suo quadrato; per esempio 1 con

1, 2 con 4. Così mettiamo in corrispondenza un infinito con la sua parte propria. I quadrati

sono tanti quanti i numeri di cui sono quadrati. È paradossale: abbiamo 2 infiniti

in cui uno sta dentro l’altro. L’infinito diviene poi un importante concetto fisico con Cartesio, il quale ritiene che la realtà naturale è costituita da un pieno di materia su cui Dio applica il movimento e comincia a muoversi in maniera vorticosa, generando frammentazioni di

questa materia complessa, di questo aggregato materiale. Nei Principi, al paragrafo 34, arriva a questa idea: “tuttavia bisogna ammettere che in questo moto c’è qualcosa che la nostra anima concepisce esser vero, ma che nondimeno non è in grado di comprendere”.

La materia è un blocco unico come un fluido che si sposta distribuendosi nello

spazio; in dipendenza di diverse velocità ci saranno zone più o meno rarefatte. Allora,

per riempire le zone più piccole, c’è bisogno che la materia si frammenti in una

polvere finissima. Una divisione indefinita che avviene in tante parti che non potremo

determinare con il pensiero, alcune tanto piccole da non pensare che possano essere

divise in altre ancora più piccole. Bisogna riempire tutte le grandezze di questi spazi che sono differenti. C’è una divisione all’infinito in atto della materia. Non dobbiamo dubitare di

questa divisione. Noi non siamo in grado di comprenderla ma dobbiamo accettarla per

ragioni fisiche. Nella visione della fisica di Leibniz, la materia aristotelica è identica alla materia

sottile di Cartesio. Entrambe sono divisibili all’infinito. Entrambe sono prive di per

sé di forma e di moto, entrambe ricevono la forma mediante il moto. La materia è fluido

originario, cui si applica il moto; questo è come far bollire nella pentola della polenta.

L’effetto del calore genera il movimento della materia.

Le figure sono l’effetto dell’applicazione del moto a questa materia, che è infinita. Leibniz ha un’altra intuizione: se una persona fosse dotata di sguardo penetrante come una lince, scorgerebbe nelle cose più piccole in proporzione la maggior parte delle cose che conosciamo nelle cose grandi. E se le cose più piccole si spingono fino all’infinito, un qualsiasi atomo sarà come un mondo.

Si apre una porta su un panorama strano: l’infinito entra a far parte dell’esperienza quotidiana. Gli oggetti sono fatti di parti infinite e sono divisibili. La definizione di Leibniz è data in relazione al concetto di Aristotele: bisogna concepire lo spazio come pieno di una materia originariamente fluida, suscettibile di tutte le divisioni e soggetta anche attualmente a divisioni e suddivisioni all’infinito; ma con questa differenza però: che essa è divisibile e divisa inegualmente in punti diversi a causa dei movimenti che sono già in essa, più o meno cospiranti tra loro.

Essa ha perciò ovunque un certo grado di rigidità, così come di fluidità; non c’è alcun corpo che sia duro al massimo grado tale che ci si trovi un atomo di durezza insormontabile o qualche massa del tutto indifferente alla divisione.

Per Leibniz la struttura materiale del mondo è divisibile all’infinito in un modo determinato. Egli accetta l’infinito attuale, in ogni istante la materia è divisa in una infinità di parti. “Per quanto paradossale ciò possa sembrare, è impossibile avere la conoscenza degli individui e trovare il modo di determinare esattamente l’individualità di una qualunque cosa, a meno di conservarla inalterata; poiché tutte le circostanze possono ripetersi, le più piccole differenze ci sono insensibili e il luogo o il tempo, ben lungi dal determinarle di per sé, hanno bisogno anch’essi di essere determinati

dalle cose che contengono. Ciò che vi è di più considerevole in questo fatto è che l’individuo racchiude l’infinito e solo colui che è capace di comprenderlo può avere la conoscenza

del principio di individuazione di questa o quella cosa”. Leibniz riafferma, a proposito della dimensione reale della materia e in polemica con Aristotele, che “attualmente la materia è divisa in parti e per qualunque parte piccola a piacere è possibile trovarne sempre una più piccola”.

Un albero, un uovo, una pianta sono fatti di una infinità di parti, sono oggetti aggregati

non compiuti. Leibniz arriva all’idea che la realtà è divisa in infinito in ogni momento. In ogni momento è possibile andare oltre le parti e però gli oggetti che compongono la realtà sono semplicemente degli aggregati, gli individui non esistono né hanno cittadinanza né nelle considerazioni della fisica, né in quelle della matematica.

Sono semplici modi per concepire, strumenti di analisi per il calcolo, ma non sono reali. Le monadi non sono atomi che compongono la realtà; sono condizioni dell’apparire, sono al di là della realtà dell’esperienza. L’infinito matematico è potenziale (sincategorematico). Qualunque grandezza

io do, è sempre possibile spingersi oltre. In Leibniz c’è sempre una prospettiva di tipo

interno-esterno: da una parte fissa dei limiti alla nostra conoscenza (no agli infinitesimi),

dall’altra fa speculazioni metafisiche impegnandosi a dire come sono le cose.

La relazione di Massimo Mugnai è stata trascritta dalla registrazione magnetica a cura di

Giulia Villani; il testo non è stato rivisto dall’Autore.

TRATTO DA http://www.swif.uniba.it/

Il concetto di infinito

Massimo Mugnai

2° PARTE

Questo sarà un passo che verrà commentato da Tommaso e da tutti i medievali, quindi l’infinito ha un carattere di tipo modale, una lotta, oppure un evento, una giornata; non sono qualcosa di sostanziale, di fissabile. L’infinito ha lo stesso tipo di natura; quello che poi Locke per esempio chiamerà “natura modale”. “ Togliendo l’infinito che esisterebbe in atto nel senso dell’accrescimento, considerato come qualcosa che non può essere attraversato, l’argomento non sopprime la concezione dei matematici”. E qui c’è un punto molto importante perché Aristotele distingue la nozione di infinito attuale. L’osservazione è questa: se io tolgo l’infinito, cioè non prendo in considerazione l’infinito che esiste in atto nel senso di accrescimento, qui considerato come qualcosa che non può essere attraversato, l’argomento, la mia soluzione non sopprime la concezione dei matematici. In realtà, questi non hanno bisogno e non fanno uso dell’infinito, bensì soltanto di grandezze tanto grandi quanto vogliamo ma limitate (qui emerge l’idiosincrasia, un po’ l’ostilità che i matematici greci hanno verso l’infinito, anche se poi altri autori come Archimede hanno trattato l’argomento). Questa è l’idea: si ha sempre a che fare con grandezze grandi quanto si vuole ma sempre limitate e questo vuole dire che per qualunque grandezza io consideri, è sempre

possibile trovarne una più grande, andare oltre.

I matematici non hanno bisogno di fare considerazioni sull’infinito in sé, su oggetti di per sé infiniti, ma su oggetti esemplari, per esempio una certa linea, un certo spazio e così via.

“Ora la divisione effettuata su una grandezza molto grande va applicata ad un’altra grandezza a piacere - per la dimostrazione, infatti, sono poco importanti le grandezze reali. Quindi c’è un riferimento a un procedimento astratto tipico del matematico. Per esempio il matematico fa una riflessione su una linea di una certa grandezza e poi dice: “Questa riflessione può essere applicata a qualsiasi altra grandezza a piacere in quanto gli enunciati matematici hanno valore generale; anche se si ragiona su un esempio, c’è una forte generalizzazione e si dice che questo qui vale per tutti i casi.

Quindi diciamo in qualche modo che la generalizzazione è implicita all’interno del ragionamento matematico. Quindi, per ricapitolare le considerazioni svolte fin qui, è evidente che per Aristotele

non esiste l’infinito in atto. La materia non è divisa in un’infinità di parti. Il che significa che, se io prendo un pezzo di legno e lo divido in dieci pezzi, l’atto che segue ogni mia decisione è un atto limitante. Mi trovo davanti a 10 pezzi, non a infiniti pezzi. Ma dalla mia locuzione si comprende che potenzialmente posso dividere all’infinito. Di fatto realmente posso dare una configurazione di un certo tipo o di un altro tipo. Le parti in cui è divisa sono un numero grande, ma finito in ogni istante, la materia è infinitamente divisibile, nel senso che può sottostare nel tempo a un numero infinito di divisioni.

C’è un paragone molto interessante: si pensi a una campana che suoni in ogni

istante. In ciascun istante il suono è attuale, ma soltanto potenzialmente infinito. Non

c’è un momento per poter ascoltare tutti i suoni contemporaneamente. La divisione è

attuale in ogni istante ma solo potenzialmente infinita. Questa cosa è importante perché, vedremo, Leibniz rovescia completamente questa situazione, assumerà che in ogni istante la materia è divisa all’infinito, negando appunto questo assunto fondamentale aristotelico. Perché questa distinzione tra infinito in atto ed infinito in potenza? Per evitare i paradossi di Zenone, rappresentati da Aristotele sempre nella fisica. Si veda, ad esempio, il secondo paradosso di Zenone, quello detto di Achille: il

più lento nella corsa non sarà mai raggiunto, poiché quello che segue deve sempre cominciare

a raggiungere il punto dal quale è partito quello che fugge, in modo che il

più lento ha sempre qualche vantaggio.

Come conclusione del ragionamento si ricava che il più lento non verrà raggiunto

dal più veloce. Di conseguenza la soluzione sarà la medesima: si ha una conclusione tra divisibilità

in potenza e divisibilità in atto. Quanto a pensare che colui che è davanti non

sarà mai raggiunto, è falso. In realtà, nella misura in cui è davanti non è raggiunto, ciò

quando parte, ma sarà raggiunto non appena si conceda che il percorso è una linea finita

(ecco l’osservazione che fa Aristotele). Successivamente il concetto di infinito in autori posteriori ad Aristotele, come Plotino, assume una curvatura diversa. Plotino è importante perché ha recuperato l’idea di infinito metafisico che si salda a un impianto sostanzialmente aristotelico, dando luogo a una prospettiva che si ritroverà nei medievali.

Plotino si appropria del concetto di infinito definito come principio, che Aristotele aveva rifiutato, e lo salda in una problematica aristotelica fondata sulla nozione che quello che riguarda le cose del mondo è diviso tra infinito in atto e in potenza. Plotino fa una identificazione tra l’uno e l’infinito. L’infinito è una proprietà dell’uno. “L’uno non è limitato, ma neppure infinito come grandezza, poiché dove avrebbe dovuto avanzare o perché qualcosa giungesse a lui che non ha bisogno di nulla?”. L’uno non è esteso, perché, se fosse esteso, implicherebbe l’andare da qualche

parte, cioè una relazione spaziale.

Ha l’infinità in quanto potenza non è mai in modo diverso. L’infinità gli appartiene perché non è più di uno e non allude ad un rapporto che limita qualcuna delle cose che gli appartengono. Quindi qui si recupera il senso dell’infinito come indeterminato. L’infinito è, in questo senso, privo di determinazioni in quanto è uno, non è misurato né è numerabile. Non trova il suo limite né in altro né in se stesso perché altrimenti sarebbe due cose.

Non ha figura, non è rappresentabile, non gli appartengono le forme. Idea di uno come indifferenziato, primigenio e come principio: quello che Aristotele aveva cercato di eliminare.

L’idea dell’infinito è come negazione della privazione. L’uno è privo di qualsiasi

determinazione. In questo senso è infinito.

Viene fatta per la prima volta una equazione: “l’Uno non è altro che Dio e quindi

è infinito”.Plotino combina la concezione con un punto di vista aristotelico per ciò che concerne il mondo sensibile e già qui parte un problema, che è quello dell’eternità del mondo, che vedremo sarà determinante per la tradizione medievale. Aristotele crede che il mondo sia eterno e questo per i filosofi medievali e cristiani costituisce un grosso problema, perché se è eterno non può essere creato. Tommaso d’Aquino sviluppa questo argomento contro l’infinità del mondo nella

Summa teologica: è contrario alla ragione che ciò che è creato sia infinito; infatti sarebbe una contraddizione che l’essere creato possa essere infinito. Il problema che riguarda l’infinito si trova trattato in molti filosofi medievali. Si veda, ad esempio, il ragionamento di Giovanni Duns Scoto sul paradosso dei cerchi, risultante dall’assunzione della concezione della retta come costituita da parti. Si hanno due cerchi concentrici: se dal centro traccio i raggi del cerchio più grande, intercetto

tutti i punti della circonferenza, ma così facendo intercetto anche tutti i punti della circonferenza più piccola e quindi metto in corrispondenza tutti i punti della circonferenza più piccola con quelli della circonferenza più grande. La circonferenza più grande è fatta dallo stesso numero di punti della circonferenza più piccola. E ciò è contrario alla nostra intuizione della nozione tutto-parte.

I medievali mettono in relazione la nozione classica aristotelica di infinito in atto e infinito in potenza con due altri concetti che sono due concetti chiave della tradizione occidentale riguardo all’infinito: infinito categorematico e infinito sincategorematico.

L’infinito categorematico è quello che ha significato di per sé, quindi è l’infinito in atto. Dal punto di vista logico è un’espressione linguistica che individua una classe di oggetti, come “cane” o “cavallo”. L’infinito sincategorematico è potenziale, si perfeziona sempre. È relativo ad elementi

linguistici che assumono significati compiuti solo se si applicano a termini categorematici.

Il significato di “e” risulta evidente solo se connette due posizioni. La relazione tra i due significati si può vedere riflettendo su questo esempio: “uomini infiniti corrono” equivale a dire “una infinità di uomini presi collettivamente corrono”. Nell’uso sincategorematico il termine di infinito è preso distributivamente. Alcuni uomini corrono ma non tanti che non sia possibile che corrano di più.

Questo è il significato. Inteso in un modo categorematico, è un termine comune e significa “la quantità della cosa soggetta a predicato”; come quando si dice “il mondo è infinito”. In un altro

modo lo si intende sincategorematicamente: il modo in cui il soggetto si rapporta al predicato: è segno distributivo come se dico “alcuni uomini corrono”. Qui si sovrappone il concetto di infinito categorematico a quello di infinito in potenza. Quindi il primo diviene attuale ed equivale a tutti i termini messi insieme mentre l’infinito sincategorematico è riferito sempre in senso potenziale.

Con il Rinascimento si ha il recupero della nozione di infinito come principio (avversato da Aristotele).

  UMANESIMO E RINASCIMENTO

L'universo, la mente e la matematica  

   A slargare l'orizzonte culturale del periodo storico di cui stiamo percorrendo le tappe principali, contribuisce, e non poco, un pensatore, tedesco di nascita, ma italiano di formazione: Nicola Cusano. Con la speculazione del Cusano, la cultura filosofica rinascimentale si arricchisce di tematiche che, nel mentre riecheggiano motivi tradizionali, quali la metafisica neoplatonica ed il misticismo eckhartiano, preannunciano motivi e spunti i cui sviluppi caratterizzeranno molti aspetti del nuovo pensiero scientifico. Nella ricca e complessa opera di Cusano, infatti, risultano fusi e resistenti a qualsiasi tentativo di distinzione precisa e netta, intuizioni che con linguaggio moderno incaselliamo nella categoria scienza e convinzioni che rappresentano il "proprio" della teologia.

Nicola Krebs nacque nel villaggio di Cues (oggi assorbito nella cittadina di Benkastel) da cui prese il nome, nel 1401. La sua prima formazione, presso i Fratelli della vita comune, fu ispirata ad una libera lettura dei classici e ad uno spirito religioso più pratico che dottrinale. Nel 1416 si iscrisse all'università di Heidelberg e l'anno successivo a Padova, dove studiò diritto. In quest'ultima università, a contatto con scienziati e medici insigni, tra i quali Paolo Toscanelli, maturarono i suoi interessi matematici e naturalistici.

Nel 1425 studiò teologia a Colonia. Ben presto si fece fama di giurista e di umanista. Nel 1432 partecipò attivamente al concilio di Basilea, come difensore di Ulrico di Manderscheid, che aveva ottenuto in modo poco chiaro il vescovato di Treviri. In questa occasione scrisse il De concordantia catholica in cui sostenne le ragioni del concilio contro le tesi curialiste rivendicanti il primato del pontefice. Convertito alla causa papale, fu inviato a Costantinopoli con una delegazione per invitare l'imperatore e il patriarca di Bisanzio al Concilio di Ferrara-Firenze con cui si voleva tentare il ravvicinamento della chiesa ortodossa con quella romana. In quella occasione non poca influenza esercitarono su di lui dotti come Basilio Bessarione e Giorgio di Trebisonda. Subito dopo il ritorno da Costantinopoli compose il De docta ignorantia (1440) e poco dopo il De Conjecturis. Nel 1448 ebbe la porpora cardinalizia e due anni dopo a Roma, dove compose L'Idiota, fu nominato vescovo di Bressanone.

In questo periodo scrisse opere di un certo rilievo come il De pace fidei, il De Beryllo e il De visione dei. Tornato a Roma come vicario generale dello Stato Pontificio compose il De possest, De ludo globi ed altre opere. Morì a Todi nel 1464, mentre era in viaggio per raggiungere il Papa Pio II ad Ancona.

Di particolare rilievo si presenta il motivo animatore della prima importante opera del Cusano: De concordantia catholica. Riprendendo tematiche dell'occamismo e dell'avverroismo latino, Cusano assume atteggiamenti liberalistici e democraticistici. Contro le tesi curialiste rivendicanti l'assoluta supremazia del Papa sul Concilio, il giovane canonista, nel ribadire il fondamento pluralistico su cui è sorta la Chiesa, sostiene la tesi secondo cui la vita della Chiesa si alimenta del contributo di tutti i corpi minori. Il Concilio come unità armonica degli organismi intermedi, rappresentativi del popolo credente, viene riconosciuto come la massima autorità in materia di fede:

Perciò il corpo sacerdotale, benché caduco, mortale e soggetto ad errore nei suoi membri, non lo è tuttavia come totalità, poiché la parte maggiore rimane sempre nella fede e nella legge di Cristo... E il giudizio sulla fede non è sempre individuabile nel consenso esclusivo del romano Pontefice, poiché potrebbe egli essere eretico... al contrario in quel giudizio della fede in cui consiste la sua autorità somma, egli soggiace al Concilio della chiesa universale.

(De concordantia, I, 8)

I Concili, a loro volta, non debbono essere guidati alle decisioni da uno o da pochi dei partecipanti, ma poiché per natura gli uomini sono liberi

in esso (Concilio) deve esserci tale libertà che ciascuno abbia libera facoltà di parola.

(De concordantia, II,3)

Nel rapporti con la società civile e con l'impero, la Chiesa non deve rivendicare privilegi o poteri temporali, anzi deve concedere all'Imperatore la funzione di garante del pacifico e regolare sviluppo della sua stessa vita interna. Ogni imperatore, sostiene Cusano, deve puntare alla pace:

Ma principio della pace è l'arte di dirigere i sudditi verso il loro eterno fine, e i mezzi per raggiungere questo sono le sacre istituzioni delle religioni. Perciò la prima cura dell'imperatore deve essere intesa a che queste siano osservate.

(De concordantia, III, 7)

Prese di posizioni così decise ed energiche non portarono, però il Cusano sulle posizioni dei più intransigenti sostenitori delle tesi anti-papali, anzi nel momenti più impegnativi, quando il Papato tenterà la riconciliazione con la Chiesa greca lo vediamo attivo mediatore al servizio del papa.

I motivi ispiratori di tutta l'opera cusaniana sono decisamente di natura teologica. Ciononostante, essi si nutrono di un pensiero che ha una forte carica innovativa sia sul piano metodologico-conoscitivo che su quello cosmologico. Nella sua opera più famosa, De docta ignorantia, Cusano evidenzia come la mente umana nel tentativo di conoscere ciò che è ignoto debba partire dal noto. Stabilendo così una continuità di termini intermedi, fra di essi omogenei, si può rapportare al già conosciuto ciò che si vuole conoscere. Di modo che quanto meno è lunga la serie dei termini, tanto più facile ed immediata si presenta la comprensione. Questa serie di rapporti proporzionali tra le cose non può essere espressa se non con numeri:

Tutti quelli, infatti, che compiono qualche ricerca, giudicano dell'incerto per mezzo di qualche proporzione che stabiliscono di esso con un termine certo che possano presupporre ... Ma la proporzione, dicendo contemporaneamente convenienza e diversità rispetto ad una qualche e medesima realtà, non può essere espressa fuori del numero... Forse perciò Pitagora giudicava che tutte le cose si costituiscono e s'intendono in forza dei numeri.

(De docta ignorantia, I,1)

Ma perché si possa stabilire un rapporto di analogia tra un oggetto ed un altro c'è bisogno che questi siano omogenei, cioè riconducibili ad una stessa natura. Di conseguenza quando la mente umana tenta di capire l'infinito, non potendolo rapportare a nessuno degli oggetti a lei noto, in quanto tutti di natura finiti, deve riconoscere la sua impossibilità a conoscerlo attraverso la via razionale:

Il massimo, del quale nulla può essere più grande, essendo in modosemplice ed assoluto più grande di quello che da noi si possa capire, poiché è verità infinita, noi non lo cogliamo altrimenti che in modo incomprensibile.

(De docta ignorantia, I, 4)

Altrettanto dicasi del minimo, che, essendo pur esso assoluto, non rapportabile cioè a nessuna grandezza nota, coincide col massimo. Ovviamente è inutile cercare di spiegare razionalmente questa coincidenza: essa è al di fuori di ogni discorso razionale. L'unica possibilità per tentare l'apprensione di Dio come coincidenza di infinitamente grande (massimo) ed infinitamente piccolo (minimo) è offerta all'uomo dalla matematica. Solo gli enti matematici per la loro immaterialità, e in quanto eliminano ciò che è instabile e fluttuante dall'esperienza sensibile, si presentano come strumenti utili per la comprensione del reale e di molte verità teologiche.

Un esempio per capire come Dio possa essere l'essenza di tutte le cose ci è fornito dal concetto della linea infinita. Come la linea infinita infatti, è della stessa natura di tutte le altre linee, ma tutte le comprende e le esaurisce in sé, così Dio è l'essenza infinita che comprende ed esaurisce in sé l'essenza di tutte le cose. A questo Dio, nel quale tutti gli opposti coincidono (coincidentia oppositorum) e le parti si armonizzano in unità, non conviene alcuna definizione. Nel linguaggio umano, infatti ad ogni definizione se ne contrappone un'altra, ma in Dio tutte le definizioni opposte si unificano. A Dio, infatti:

conviene... quella unità cui non si oppone né alterità né pluralità né molteplicità.

(De docta ignorantia, I, 23)

Unità che l'uomo intuisce solo quando valica anche le punte più alte del suo conoscere razionale, quando cioè s'accorge che ogni suo sapere si presenta inadeguato alla comprensione di Dio. Solo in questa "dottissima ignoranza" l'uomo afferra l'immensità di Dio e la coincidenza in lui di tutti gli opposti. La teologia negativa della tradizione neoplatonica, secondo la quale di Dio si può dire ciò che non è piuttosto che ciò che è, offre così la soluzione al problema della conoscibilità e della predicabilità degli attributi di Dio. Ma se sul piano conoscitivo c'è una distanza incolmabile tra mente umana e Dio, sul piano dell'essere, invece, tra Dio e Universo c'è uno stretto rapporto. Cusano rifiuta, infatti, la processione dei gradi degli esseri intermedi tra Dio e Mondo: Dio come unità infinita possiede in sé contratto tutto quanto l'universo:

L'unità infinita è complicazione di tutte le realtà... E come nel numero, che esplica l'unità, non si ritrova che l'unità, così in tutte le cose che sono non si trova se non il massimo.

(De docta ignorantia, II, 3)

Il mondo allora non è altro che l'esplicazione dell'essenza che, "complicata", si trova in Dio. Tra Dio e mondo non c'è un taglio netto, una separazione assoluta perché l'universo esplica nella molteplicità lo stesso Dio:

E poiché l'unità assoluta è la prima, e l'unità dell'universo procede da essa, l'unità dell'universo sarà la seconda unità che consiste in una certa pluralità.

(De docta ignorantia, II, 6)

La vera realtà di questo universo, però, è costituita da sostanze individuali. Il motivo unitario esaltante la coesione della molteplicità delle singole realtà nell'unità dell'universo, è strettamente connesso alla rivalutazione delle realtà individuali:

In atto sono gli individui, in cui sono in modo contratto tutte le cose, e da questa considerazione si vede come gli universali non sono in atto se non in modo contratto (negli individui).

(De docta ignorantia, II, 6)

Da questa tesi Cusano ricava delle conclusioni che, per il tempo in cui furono elaborate, hanno una carica fortemente innovativa. La prima grande affermazione, che è poi l'idea dominante della cosmologia cusaniana, è l'infinità dell'universo:

L'universo… è illimitato, poiché non può esservi in atto qualcosa di più grande che lo limiti, dunque è un universo privativo.

(De docta ignorantia, III, 1)

Di questo universo non è possibile individuare né il centro, né la circonferenza, in quanto il centro e la circonferenza si caratterizzerebbero come l'infinitamente piccolo, il minimo e l'infinitamente grande, il massimo, i quali, in quanto entrambi infiniti, coinciderebbero.

Solo Dio, come "coincidentia oppositorum", è centro e circonferenza dell'universo, ed è anche principio, mezzo e fine di tutto.

Da questa prima affermazione rivoluzionaria scaturiscono conseguenze che sono in netto contrasto con la scienza tradizionale:

La terra, che non può essere il centro dell'universo, non può essere completamente priva di movimento.

(De docta ignorantia, II,11)

La credenza nella centralità della terra e nella sua immobilità, spiega Cusano, si è venuta formando sulla scorta di un meccanismo psicologico che non tiene conto del fatto che spazio e movimento sono concetti relativi all'osservatore:

Chiunque, qualunque sia il luogo in cui egli si trovi, crederà sempre di essere al centro.

(De docta ignorantia, II, 11)

Per spiegare la relatività del movimento, Cusano ricorre ad un'immagine che sarà ripresa da uno scienziato contemporaneo, Albert Einstein:

Per questo a chiunque, si trovi egli sulla terra, o nel sole, o in qualsiasi altra stella, sembrerà sempre di essere egli come in un centro quasi immobile, mentre tutto il resto si muove: egli così si stabilirà sempre poli diversi, questo se esiste sulla terra, quest'altro se sul sole ed altri se sulla luna, su Marte o altrove.

(De docta ignorantia, II, 12)

Questo universo infinito possiede una struttura di tipo matematico e presenta tra le parti un ordine proporzionale, ordine che impresso da Dio all'atto della creazione, è perfettamente conoscibile dall'uomo, la cui mente possiede la stessa struttura matematica:

Nella creazione del mondo Dio si servì dell'aritmetica, della geometria, della musica e dell'astronomia, arti delle quali anche noi ci serviamo quando indaghiamo le reciproche proporzioni delle cose... Gli elementi furono disposti in ammirevole ordine da Dio, che creò tutto secondo numero, peso e misura.

(De docta ignorantia, II, 13)

Con questa nuova visione del cosmo Cusano ha dato un forte contributo all'opera di distruzione dell'immagine dell'universo chiuso fornita dalla cosmologia aristotelica-tolemaica.

Tra sole, terra ed altre stelle, Cusano non segna più alcuna differenza. Come nessuna differenza è riscontrabile tra le varie parti dell'universo: non esistono più luoghi naturali verso cui si dirigono i diversi elementi costituenti il cosmo. La visione gerarchica dell'universo insomma è completamente infranta, ad essa viene sostituendosi un nuovo universo illimitato; al punto di vista cosmologico si sostituisce gradualmente il punto dì vista fisico e si avvia il processo che porterà ad una nuova ontologia e alla geometrizzazione dello spazio.

Nel De conjecturis Cusano analizza le possibilità che la mente umana ha di conoscere, e riprende gli accenni già fatti, nel De docta ignorantia, alla struttura matematica della mente:

Siccome la mente umana, nobile similitudine di Dio, partecipa per quanto può della fecondità della natura creatrice, essa trae da se stessa, come dall'immagine della forma onnipotente, degli enti di ragione al fine di raffigurarsi quelle reali.

(De Conjecturis, I, 3)

L'uomo quindi, grazie alla similitudine della sua mente con Dio, può, attraverso congetture matematiche, rapportarsi al mondo e conoscerlo. L'atto attraverso cui la mente dispiega le sue capacità conoscitive è la mensura, intesa come capacità di paragonare. ponderare e misurare. La tensione conoscitiva della mente, ovviamente, sarà infinita in quanto infinito è l'oggetto da conoscere.

Ne consegue che ogni sapere è sempre limitato e provvisorio, è un sapere storico, passibile di sempre nuovi superamenti. Ma la limitatezza e la provvisorietà non comportano incongruenza ed arbitrarietà. Se infatti la conoscenza discorsiva, la cosiddetta logica dianoetica, mostra i suoi limiti relativamente all'infinità di Dio, essa, strutturata come conoscenza matematica, risulta feconda sul piano della realtà fisica. Il dispiegamento della ragione avviene attraverso il numero, e attraverso i numeri, come enti della nostra mente, possiamo attingere la vera struttura della realtà costruita da Dio con ordine. e proporzione matematici:

Né si può di certo comprendere composizione alcuna fuori del numero: sono infatti contemporaneamente da essa e la pluralità delle parti, e la loro distinguibilità, e la proporzione in base alla quale si possono raccogliere insieme. Né sarebbe distinta la sostanza, distinto l'essere bianco, distinto l'essere nero, e così ogni entità, senza l'alterità, che è, ed è per il numero.

(De Conjecturis, I, 4)

La logica dell'identità e della distinzione è perfettamente adeguata alla comprensione della realtà naturale.

Proprio per la capacità di espandere all'infinito il proprio potere conoscitivo, l'uomo ben a ragione può essere paragonato a Dio:

L'uomo è infatti un dio, ma non assolutamente, in quanto uomo; è perciò come un dio umano. L'uomo è anche un mondo, ma in quanto uomo non è nella sua contrazione tutte le cose. E' perciò l'uomo un microcosmo, o un certo mondo umano. La stessa sfera dell'umanità perciò abbraccia, con la sua potenzialità umana, e Dio e l'universo mondo; può quindi essere l'uomo un Dio umano e Dio umanamente; può essere un angelo umano, e una bestia umana, un leone umano, o un orso o qualunque altra cosa.

(De Conjecturis, II, 14)

I temi più specifici della cultura rinascimentale riguardanti l'uomo sono già chiaramente elaborati nelle pagine da Cusano dedicate all'argomento.

Nel De Idiota, che in italiano andrebbe tradotto " profano illetterato", il Cusano riprende la tematica del De Conjecturis per condannare la sapienza frutto dell'erudizione letteraria o retorica, basata sull'autorità. La sapienza vera è quella che si acquista con la lettura del mondo della natura in chiave matematica.

Un ultimo scritto cusaniano merita di essere qui ricordato, il De pace fidei. La caduta di Costantinopoli nelle mani dei Turchi (1453) aveva messo a diretto contatto il mondo cristiano e quello islamico. Cusano, convinto assertore della soluzione pacifica e negoziata del conflitto religioso, sotto la forma metaforica di una specie di congresso tenuto in cielo davanti a Dio con la partecipazione dei rappresentanti delle diverse fedi religiose, suggerisce la via della pacificazione e della concordia.

Si tratta soltanto di cercare un accordo sui comandamenti divini più semplici ed elementari, rintracciabili nello stesso lume di ragione, e riducibili tutti al semplice comandamento dell'amore. Sulla base di tale intesa, tutti i riti debbono essere tollerati. Questo invito cusaniano diventa l'elemento basilare della lunga battaglia che filosofi e scienziati condurranno contro l'intolleranza e le persecuzioni religiose.

tratto da http://www.filosofia.unina.it/sdf/mod/capitolo%201/cap1_par5.htm

1210 LINEE 2007

VIDEO E MUSICA

DI

RAFFAELA MARIA SATERIALE